清华大学 2021年强基第22题
📝 题目
将一列格子 $n$ 个排成一排，用三种颜色染色，相邻两格颜色不同，且首尾颜色不同，则染色数 $a_{n}$的通项公式、递推公式 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立递推关系
设a_n为n个格子满足条件的染色数。考虑第一个格子颜色固定，则第二个格子有2种选择，后续每个格子有2种选择（不与前一个同色），但需排除首尾同色的情况。
公式：a_n = 2 * 3^{n-1} - a_{n-1}
提示：利用对称性，首尾同色的情况数等于a_{n-1}（将首尾视为一个格子）。
步骤 2/5
目标：求解递推公式
由a_n + a_{n-1} = 2 * 3^{n-1}，构造等比数列。设b_n = a_n - k * 3^n，代入求解k。
公式：a_n = 3^{n-1} + (-1)^{n-2} * 3
提示：注意初始条件a_2 = 6（两格不同色）。
步骤 3/5
目标：验证初始条件
n=2时，两格不同色，从3种颜色选2种排列，共3*2=6种，符合公式a_2=3^{1}+(-1)^{0}*3=3+3=6。
公式：a_2 = 6
提示：n=1时首尾相同，不满足条件，故n≥2。
步骤 4/5
目标：得出通项公式
化简得a_n = 3^{n-1} + 3*(-1)^{n-2} = 3^{n-1} - 3*(-1)^{n-1}。
公式：a_n = 3^{n-1} + (-1)^{n-2} * 3
提示：可写为a_n = 3^{n-1} - 3*(-1)^{n-1}。
步骤 5/5
目标：写出递推公式
由推导过程得递推公式：a_n = 2 * 3^{n-1} - a_{n-1}，其中a_2=6。
公式：a_n = 2 * 3^{n-1} - a_{n-1}
提示：也可写为a_n + a_{n-1} = 2 * 3^{n-1}。
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