清华大学 2021年强基第23题
📝 题目
$a, b, c$ 成等差数列，直线 $l, a x+b y+c=0, p(1,0)$ 在 $l$ 上投影为 $M, N(3,2)$ ，则以下正确的是 。 A．$l$ 过定点 B．$l$ 垂直于定值线 C．$|M N|$ 最小值为 $\sqrt{2}$ D．$|M N|$ 最大值为 $4 \sqrt{2}$
💡 答案解析
A 【解析】 $\displaystyle \mathrm{b}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{c}}{2}$ ，故该直线过定点 $(1,-2), 1$ 为过 $(1,-2)$ 的所有直线， B 错误，记该直线为 $\mathrm{y}=\mathrm{k}(x-1)-2$ ，则 P 在该直线上的投影为 $$ M=\left(1+\frac{2 k}{k^{2}+1},-\frac{2}{k^{2}+1}\right),|M N|^{2}=4\left(\left(1-\frac{k}{k^{2}+1}\right)^{2}+\left(1+\frac{1}{k^{2}+1}\right)^{2}\right) $$ $\displaystyle |M N|^{2}=4\left(2+\frac{-2 \mathrm{k}+3}{\mathrm{k}^{2}+1}\right)$ ，求导知 CD 错误。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用等差数列条件化简直线方程
由a,b,c成等差数列得2b=a+c，代入直线方程ax+by+c=0，得ax+((a+c)/2)y+c=0，整理为a(2x+y)+c(y+2)=0。
公式：2b=a+c
提示：将直线方程视为关于参数a,c的方程，提取公因式。
步骤 2/6
目标：求直线所过定点
由a(2x+y)+c(y+2)=0对任意a,c成立，得方程组2x+y=0且y+2=0，解得x=1,y=-2，故直线恒过定点(1,-2)。
提示：定点满足两个系数同时为零。
步骤 3/6
目标：判断选项A和B
直线过定点(1,-2)，故A正确；直线方向可变，不垂直于定直线，故B错误。
提示：B选项需验证是否所有直线都垂直于某条固定直线。
步骤 4/6
目标：设直线方程并求投影点M坐标
设直线斜率为k，方程为y=k(x-1)-2。点P(1,0)在直线上的投影M满足PM垂直于直线，利用垂直条件求得M坐标：M=(1+2k/(k^2+1), -2/(k^2+1))。
公式：垂足公式
提示：利用向量垂直或参数方程求解。
步骤 5/6
目标：计算|MN|^2的表达式
N(3,2)，计算|MN|^2=(Δx)^2+(Δy)^2，代入M坐标化简得|MN|^2=4[2+(-2k+3)/(k^2+1)]。
公式：两点距离公式
提示：化简时注意合并同类项。
步骤 6/6
目标：分析|MN|的最值
令t=(-2k+3)/(k^2+1)，求导或利用判别式法得t的范围，进而得|MN|^2的范围，计算表明|MN|无最小值√2和最大值4√2，故C、D错误。
公式：导数或判别式法
提示：注意k为实数，t的值域需仔细计算。
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