清华大学 2020年强基第1题
📝 题目
已知实数 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，则 $x^{2}+x y-y^{2}$ 的最大值为 。 A． 1 B．$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}$ C．$\displaystyle \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D．$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
💡 答案解析
B【解析】：设 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，其中 $|r| \leq 1, \theta \in R$ ，则 $$ x^{2}+x y-y^{2}=r^{2} \cos 2 \theta+\frac{r^{2}}{2} \sin 2 \theta \leq \cos 2 \theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta \leq \frac{\sqrt{5}}{2}, $$ 上式当 $\displaystyle r=1, \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{10-4 \sqrt{5}}}, \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{10+4 \sqrt{5}}}$ 时取等号， 即原式的最大值为 $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入极坐标变换
设 x = r cos θ, y = r sin θ，其中 |r| ≤ 1, θ ∈ R。
公式：x = r cos θ, y = r sin θ
提示：极坐标适用于圆域约束。
步骤 2/5
目标：将表达式用极坐标表示
代入得 x² + xy - y² = r² cos²θ + r² cosθ sinθ - r² sin²θ = r²(cos²θ - sin²θ) + r² cosθ sinθ = r² cos2θ + (r²/2) sin2θ。
公式：cos²θ - sin²θ = cos2θ, cosθ sinθ = (1/2) sin2θ
提示：利用三角恒等式化简。
步骤 3/5
目标：利用约束条件放缩
由于 |r| ≤ 1，有 r² ≤ 1，所以 r² cos2θ + (r²/2) sin2θ ≤ cos2θ + (1/2) sin2θ。
公式：r² ≤ 1
提示：当 r=1 时取最大值。
步骤 4/5
目标：求三角函数最大值
令 f(θ) = cos2θ + (1/2) sin2θ，其最大值为 √(1² + (1/2)²) = √(5/4) = √5/2。
公式：a cos φ + b sin φ 的最大值为 √(a²+b²)
提示：辅助角公式。
步骤 5/5
目标：得出最大值
因此原式的最大值为 √5/2，对应选项B。
提示：验证等号成立条件：r=1, 且 cos2θ 和 sin2θ 满足比例。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。