清华大学 2020年强基第3题
📝 题目
已知 $A, B, C$ 是集合 $\{1,2, \cdots, 2020\}$ 的子集，且满足 $A \subseteq B \subseteq C$ ，则这样的有序组 $(A, B, C)$ 的总数为 。 A． $3^{2020}$ B． $4^{2020}$ C． $5^{2020}$ D． $6^{2020}$
💡 答案解析
B【解析】：利用 Venn 图分析即可， 注．若将条件改为 $A \subseteq C, B \subseteq C$ ，则结果为 $5^{2020}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解集合包含关系
已知 $A \subseteq B \subseteq C \subseteq \{1,2,\dots,2020\}$。对于每个元素 $x \in \{1,2,\dots,2020\}$，它相对于 $A,B,C$ 的归属情况决定了它属于哪些集合。由于包含关系，每个元素只能处于以下四种状态之一：
- $x \in A$（则必然 $x \in B$ 且 $x \in C$）
- $x \in B \setminus A$（则 $x \in B$ 且 $x \in C$，但 $x \notin A$）
- $x \in C \setminus B$（则 $x \in C$，但 $x \notin A$ 且 $x \notin B$）
- $x \notin C$（则 $x$ 不在任何集合中）
提示：注意区分 $B \setminus A$ 和 $C \setminus B$，不要混淆。
步骤 2/4
目标：确定每个元素的独立选择数
对于每个元素，上述四种状态是互斥且完备的。因此，每个元素有 $4$ 种可能的归属方式。由于元素之间相互独立，总的有序组 $(A,B,C)$ 的数量为 $4^{2020}$。
公式：总数 = $4^{2020}$
提示：不要遗漏 $x \notin C$ 的情况，这是常见错误。
步骤 3/4
目标：验证选项
选项 A 是 $3^{2020}$，选项 B 是 $4^{2020}$，选项 C 是 $5^{2020}$，选项 D 是 $6^{2020}$。根据上述分析，正确答案为 $4^{2020}$，即选项 B。
提示：注意题目中条件为 $A \subseteq B \subseteq C$，而不是 $A \subseteq C, B \subseteq C$，后者会导致 $5^{2020}$。
步骤 4/4
目标：对比易混淆条件
若条件改为 $A \subseteq C$ 且 $B \subseteq C$（无 $A \subseteq B$ 限制），则每个元素有 $5$ 种状态：
- $x \in A \cap B$
- $x \in A \setminus B$
- $x \in B \setminus A$
- $x \in C \setminus (A \cup B)$
- $x \notin C$
此时总数为 $5^{2020}$。本题条件更严格，因此答案为 $4^{2020}$。
提示：注意区分题目条件与常见变体。
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