清华大学 2020年强基第4题
📝 题目
$P$ 为椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 上的动点，$A(1,0), B(1,1)$ ，求 $|P A|+|P B|$ 的最值 。 A．最大值为 $4+\sqrt{3}$ B．最大值为 $4+\sqrt{5}$ C．最小值为 $4-\sqrt{3}$ D．最小值为 $4-\sqrt{5}$
💡 答案解析
BD【解析】：设左焦点为 $F(-1,0)$ $$ \begin{aligned} & P A+P B=4-P F+P B \\ & \therefore P A+P B \in[4-F B, 4+P B] \\ & \text { 又 } F B=\sqrt{5}, \\ & \therefore P A+P B \in[4-\sqrt{5}, 4+\sqrt{5}] \end{aligned} $$ 
设 $F(-1,0)$ ，则 $|P A|+|P B|=4+|P A|-|P F|$ ， 注意到 $-|A F| \leq|P A|-|P F| \leq|A F|$ ，且 $|A F|=\sqrt{5}$ ， 则 $|P A|+|P B| \in[4-\sqrt{5}, 4+\sqrt{5}]$ ， 且当 $P$ 为射线 $A F$ 与椭圆的交点时，$|P A|+|P B|$ 取到最大值 $4+\sqrt{5}$ ；当 $P$ 为射线 $F A$ 与椭圆的交点时，$|P A|+|P F|$ 取到最小值 $4-\sqrt{5}$ 。
设 $F(-1,0)$ ，则 $|P A|+|P B|=4+|P A|-|P F|$ ， 注意到 $-|A F| \leq|P A|-|P F| \leq|A F|$ ，且 $|A F|=\sqrt{5}$ ， 则 $|P A|+|P B| \in[4-\sqrt{5}, 4+\sqrt{5}]$ ， 且当 $P$ 为射线 $A F$ 与椭圆的交点时，$|P A|+|P B|$ 取到最大值 $4+\sqrt{5}$ ；当 $P$ 为射线 $F A$ 与椭圆的交点时，$|P A|+|P F|$ 取到最小值 $4-\sqrt{5}$ 。📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别椭圆焦点
椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，其中 $a^2=4$，$b^2=3$，所以 $c=\sqrt{a^2-b^2}=1$。左焦点为 $F(-1,0)$，右焦点为 $(1,0)$。注意 $A(1,0)$ 恰好是右焦点。
公式：$c=\sqrt{a^2-b^2}$
提示：注意椭圆焦点在长轴上，本题中长轴在x轴，焦点坐标为 $(\pm c,0)$。
步骤 2/6
目标：利用椭圆定义转化
由椭圆定义，对于椭圆上任意一点 $P$，有 $|PF|+|PA|=2a=4$，其中 $F$ 为左焦点，$A$ 为右焦点。因此 $|PA|=4-|PF|$。于是 $|PA|+|PB|=4-|PF|+|PB|=4+(|PB|-|PF|)$。
公式：$|PF|+|PA|=2a$
提示：注意 $A(1,0)$ 是右焦点，所以 $|PA|$ 是到右焦点的距离。
步骤 3/6
目标：转化为求差的范围
问题转化为求 $|PB|-|PF|$ 的范围。其中 $B(1,1)$，$F(-1,0)$。根据三角形不等式，对于任意点 $P$，有 $||PB|-|PF|| \leq |BF|$。所以 $-|BF| \leq |PB|-|PF| \leq |BF|$。
公式：$||PB|-|PF|| \leq |BF|$
提示：三角形不等式成立的条件是 $P$、$B$、$F$ 三点构成三角形，当 $P$ 在直线 $BF$ 上时取等。
步骤 4/6
目标：计算BF距离
计算 $|BF|$：$B(1,1)$，$F(-1,0)$，则 $|BF|=\sqrt{(1-(-1))^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。
公式：$|BF|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
提示：距离公式计算要准确，注意坐标差。
步骤 5/6
目标：得到PA+PB的范围
因此 $|PB|-|PF| \in [-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$，所以 $|PA|+|PB|=4+(|PB|-|PF|) \in [4-\sqrt{5}, 4+\sqrt{5}]$。最小值 $4-\sqrt{5}$，最大值 $4+\sqrt{5}$。
提示：注意范围端点对应取等条件：当 $P$ 在射线 $BF$ 上时取最大值，在射线 $FB$ 上时取最小值。
步骤 6/6
目标：确定取等条件
最大值：当 $P$ 位于射线 $BF$ 与椭圆的交点时，$|PB|-|PF|=|BF|=\sqrt{5}$，此时 $|PA|+|PB|=4+\sqrt{5}$。最小值：当 $P$ 位于射线 $FB$ 与椭圆的交点时，$|PB|-|PF|=-|BF|=-\sqrt{5}$，此时 $|PA|+|PB|=4-\sqrt{5}$。
提示：注意射线方向：最大值时 $P$ 在 $B$ 远离 $F$ 的一侧，最小值时 $P$ 在 $F$ 远离 $B$ 的一侧。
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