清华大学 2020年强基第5题
📝 题目
设 $\triangle A B C$ 的边长为 $a, b, c$ ，且均为正整数，若 $\triangle A B C$ 的面积为有理数，则 $a$ 的值可以等于 。 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
💡 答案解析
CD【解析】：注意到边长为 $3,4,5$ 的三角形即满足题意，故选项 CD 正确。 对于选项 A ，当 $a=1$ 时，$b=c$ ， 设 $\triangle A B C$ 的面积为 $S$ ，则 $$ S=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{b^{2}-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{4 b^{2}-1}}{4} $$ 注意到 $4 b^{2}-1 \equiv 3 \bmod 4$ ， 则 $4 b^{2}-1$ 不可能为完全平方数， 即 $S$ 不是有理数， 对于选项 B ，当 $a=2$ 时，则 $c=b$ 或 $c=b+1$ ， 若 $c=b$ ，则 $\displaystyle S=\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{b^{2}-1}=\sqrt{b^{2}-1}$ 不是有理数， 若 $c=b+1$ ，则半周长 $\displaystyle p=\frac{2 b+3}{2}$ ， 再由海伦公式，得 $$ S=\sqrt{\frac{2 b+3}{2} \cdot\left(\frac{2 b+3}{2}-2\right) \cdot\left(\frac{2 b+3}{2}-b\right) \cdot\left(\frac{2 b+3}{2}-b-1\right)}=\frac{\sqrt{12 b^{2}+12 b-9}}{4} .
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并分析选项
题目要求边长为正整数且面积为有理数，判断$a$的可能取值。已知选项为1,2,3,4。先考虑特殊三角形：边长为3,4,5的直角三角形面积为6，是有理数，因此$a=3$或$a=4$可能正确。
提示：注意三角形边长需满足三角不等式，且面积有理数条件苛刻。
步骤 2/5
目标：验证选项A：a=1
当$a=1$时，由三角形两边之和大于第三边，且边长均为正整数，可设$b=c$（等腰三角形），则底边为1，腰为$b$。面积公式：$S=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{b^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{4b^2-1}}{4}$。由于$4b^2-1\equiv3\pmod4$，而完全平方数模4余0或1，故$4b^2-1$不是完全平方数，$S$为无理数。因此$a=1$不满足。
公式：三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ah$；完全平方数模4性质
提示：注意$b$为正整数，$4b^2-1$模4余3，不可能为平方数。
步骤 3/5
目标：验证选项B：a=2
当$a=2$时，考虑两种情况：
1. 等腰三角形：$c=b$，则底边2，腰$b$，面积$S=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{b^2-1^2}=\sqrt{b^2-1}$。$b^2-1$不是完全平方数（除$b=1$外，但$b=1$时三角形退化为线段），故$S$无理数。
2. 非等腰：$c=b+1$，则三边为2, b, b+1。半周长$p=\frac{2b+3}{2}$，海伦公式：$S=\sqrt{p(p-2)(p-b)(p-b-1)}=\frac{\sqrt{12b^2+12b-9}}{4}$。$12b^2+12b-9$模4余3，不是完全平方数，故$S$无理数。因此$a=2$不满足。
公式：海伦公式：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
提示：注意三角形边长需满足三角不等式：$b+(b+1)>2$，即$b>0.5$，$b$为正整数，$b\ge1$。
步骤 4/5
目标：验证选项C和D：a=3或4
考虑边长为3,4,5的直角三角形，面积为$\frac{1}{2}\times3\times4=6$，是有理数。因此$a=3$或$a=4$均满足题意。注意题目要求$a$的值可以等于，即可能取值，故C和D正确。
公式：直角三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ab$
提示：注意3,4,5是常见勾股数，面积整数。
步骤 5/5
目标：总结答案
通过分析，$a=1$和$a=2$时面积均为无理数，$a=3$和$a=4$时存在面积为有理数的三角形（如3,4,5）。因此正确选项为C和D。
提示：注意题目是多项选择题，可能多选。
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