清华大学 2020年强基第6题

AC 【解析】：不妨设点 $I$ 在第一象限， 记 $e$ 为双曲线的离心率，$k_{I A}, k_{I B}$ 分别表示直线 $I A, I B$ 的斜率，则 $\displaystyle e=\sqrt{1+k_{I A} \cdot k_{I B}}=\sqrt{1-\tan \alpha \tan \beta}=\frac{\sqrt{5}}{2} \Rightarrow \tan \alpha \tan \beta=-\frac{1}{4}$ ， 考虑点 $I$ 无限趋于点 $B$ ，则 $\displaystyle \frac{\alpha}{2} \rightarrow 0, \frac{\beta}{2} \rightarrow \frac{\pi}{4}$ ， 此时 $\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} \rightarrow 0$ ， 从而 $\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}$ 不可能为定值， 设 $I(x, y)$ ，则 $\displaystyle \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}=\frac{4}{5} \cdot\left(\frac{y}{x+2}-\frac{y}{x-2}\right)=\frac{16 y}{5\left(4-x^{2}\right)}=-\frac{4}{5 y}$. 注意到 $S=2 y$ ，则 $\displaystyle S \cdot \tan (\alpha+\beta)=-\frac{8}{5}$ ， 又 $\displaystyle S \cdot \cot (\alpha+\beta)=-\frac{5 y^{2}}{2}$ 会随着 $y$ 的取值不断变化， 从而 $S \cdot \cot (\alpha+\beta)$ 不可能为定值。