清华大学 2020年强基第8题
📝 题目
R，$\triangle A B C$ 中，$\displaystyle \angle A B C=90^{\circ}, A B=\sqrt{3}, B C=1, \frac{\overrightarrow{P A}}{|\overrightarrow{P A}|}+\frac{\overrightarrow{P B}}{|\overrightarrow{P B}|}+\frac{\overrightarrow{P C}}{|\overrightarrow{P C}|}=\overrightarrow{0}$ ，以下正确的是 。 A．$\angle A P B=120^{\circ}$ B．$\angle B P C=120^{\circ}$ C． $2 B P=P C$ D．$A P=2 P C$
💡 答案解析
ABCD 【解析】：易知以 $\displaystyle \frac{\overrightarrow{P A}}{|\overrightarrow{P A}|}, \frac{\overrightarrow{P B}}{|\overrightarrow{P B}|}$ 为邻边的平行四边形为菱形，故对角线互相平分顶角， 
又 $P C$ 所在直线平分 $\angle B P A$ ， $\therefore \angle C P B=\angle C P A$ 同理 $\angle C P B=\angle B P A$ \begin{tabular}{cccccc} & 说的情况 & & & 做的情㑆 & \\ 甲 & 乙 & 丙 & 甲 & 乙 & 丙 \\ $\sqrt{ }$ & $x$ & $\sqrt{ }$ & $x$ & $\sqrt{ }$ & $x$ \\ $x$ & $\sqrt{ }$ & $\sqrt{ }$ & $\sqrt{ }$ & $x$ & $x$ \end{tabular} 即 $\angle A P B=\angle B P C=\angle C P A=120^{\circ}, P$ 为费马点 
$\triangle A C D, \triangle B C E$ 均为正三角形．易知 $A E$ 与 $B D$ 交点即为 $P$ 点且 $E, C, D$ 共线 由上述可知 $\angle B C D=\angle B P C=120^{\circ}, \therefore \triangle B C P \sim \triangle B C D$ $\displaystyle \therefore \frac{B P}{C P}=\frac{B C}{C D}=\frac{B C}{C A}=\frac{1}{2}$ 即 $C P=2 B P$
又 $P C$ 所在直线平分 $\angle B P A$ ， $\therefore \angle C P B=\angle C P A$ 同理 $\angle C P B=\angle B P A$ \begin{tabular}{cccccc} & 说的情况 & & & 做的情㑆 & \\ 甲 & 乙 & 丙 & 甲 & 乙 & 丙 \\ $\sqrt{ }$ & $x$ & $\sqrt{ }$ & $x$ & $\sqrt{ }$ & $x$ \\ $x$ & $\sqrt{ }$ & $\sqrt{ }$ & $\sqrt{ }$ & $x$ & $x$ \end{tabular} 即 $\angle A P B=\angle B P C=\angle C P A=120^{\circ}, P$ 为费马点 $\triangle A C D, \triangle B C E$ 均为正三角形．易知 $A E$ 与 $B D$ 交点即为 $P$ 点且 $E, C, D$ 共线 由上述可知 $\angle B C D=\angle B P C=120^{\circ}, \therefore \triangle B C P \sim \triangle B C D$ $\displaystyle \therefore \frac{B P}{C P}=\frac{B C}{C D}=\frac{B C}{C A}=\frac{1}{2}$ 即 $C P=2 B P$📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解向量条件
已知 $\frac{\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{PA}|}+\frac{\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PB}|}+\frac{\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PC}|}=\vec{0}$。每个向量除以模长得到单位向量，因此三个单位向量之和为零向量。这意味着三个单位向量两两夹角均为 $120^\circ$，因为三个单位向量之和为零当且仅当它们互成 $120^\circ$ 角。
公式：$\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=0$ 且 $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=1$ 时，任意两向量夹角为 $120^\circ$
提示：注意单位向量的模长为1，三个单位向量和为零向量时，它们构成等边三角形。
步骤 2/6
目标：推导角度关系
由 $\frac{\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{PA}|}+\frac{\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PB}|}+\frac{\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PC}|}=0$ 可得 $\frac{\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{PA}|}+\frac{\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PB}|}=-\frac{\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PC}|}$。左边两个单位向量的和向量方向与 $\overrightarrow{PC}$ 相反，且长度相等。由于两个单位向量之和的模长为 $2\cos(\theta/2)$，其中 $\theta$ 为两向量夹角，因此 $2\cos(\angle APB/2)=1$，解得 $\angle APB=120^\circ$。同理可得 $\angle BPC=\angle CPA=120^\circ$。
公式：$|\vec{u}+\vec{v}|=2\cos(\theta/2)$ 当 $|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$
提示：注意向量和的模长等于1，而不是2，因为和向量是单位向量。
步骤 3/6
目标：确认选项A和B
由上述推导，$\angle APB=120^\circ$，$\angle BPC=120^\circ$，因此选项A和B正确。
提示：注意角度是120°，不是60°。
步骤 4/6
目标：构造等边三角形
由于 $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^\circ$，点P是三角形ABC的费马点。以BC为边向外作等边三角形BCE，连接AE，则AE与BC的交点即为P。类似地，以AC为边向外作等边三角形ACD，连接BD，则BD与AE交于P。且E、C、D共线。
提示：费马点的构造：向外作等边三角形，连接对应顶点。
步骤 5/6
目标：利用相似三角形求比例
在等边三角形BCE中，$\angle BCE=60^\circ$，所以 $\angle BCD=120^\circ$。又 $\angle BPC=120^\circ$，所以 $\triangle BCP \sim \triangle BCD$（AA相似）。因此 $\frac{BP}{CP}=\frac{BC}{CD}$。由于CD=CA（等边三角形ACD），且BC=1，CA由直角三角形ABC求得：$CA=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3+1}=2$。所以 $\frac{BP}{CP}=\frac{1}{2}$，即 $CP=2BP$。
公式：$\triangle BCP \sim \triangle BCD$ 得 $\frac{BP}{CP}=\frac{BC}{CD}$
提示：注意相似三角形的对应边要正确。
步骤 6/6
目标：确认选项C和D
由 $CP=2BP$ 得 $2BP=PC$，即选项C正确。另外，由对称性，类似可得 $AP=2PC$？实际上，通过相似三角形 $\triangle ACP \sim \triangle ACE$ 可得 $\frac{AP}{CP}=\frac{AC}{CE}=\frac{2}{1}=2$，所以 $AP=2PC$，选项D正确。
提示：注意选项D是AP=2PC，而不是AP=2BP。
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