清华大学 2020年强基第9题
📝 题目
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \arctan \frac{2}{k^{2}}=(\quad)$ 。 A．$\displaystyle \frac{3}{4} \pi$ B．$\pi$ C．$\displaystyle \frac{3 \pi}{2}$ D．$\displaystyle \frac{4 \pi}{5}$
💡 答案解析
A【解析】：设 $\displaystyle \arctan \frac{2}{k^{2}}=\theta$ ，则 $\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{k^{2}}=\frac{k+1-(k-1)}{1+(k+1)(k-1)}=\tan (\alpha-\beta)$ $\therefore \theta=\alpha-\beta$ 即 $\displaystyle \arctan \frac{2}{k^{2}}=\arctan (k+1)-\arctan (k-1)$ $$ \begin{aligned} \therefore \sum_{k=1}^{n} \arctan \frac{2}{k^{2}} & =\arctan 2-\arctan 0+\arctan 3-\arctan 1 \\ & +\arctan 4-\arctan 2+\cdots+\arctan (n+1)-\arctan (n-1) \\ & =\arctan n+\arctan (n+1)-\frac{\pi}{4} \\ & =\pi-\arctan \frac{2 n+1}{n^{2}+n-1}-\frac{\pi}{4} \end{aligned} $$ $$ \therefore \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} \arctan \frac{2}{k^{2}}=\frac{3}{4} \pi . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将通项转化为反正切差的形式
设θ=arctan(2/k²)，则tanθ=2/k²。利用公式tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)，令α=arctan(k+1)，β=arctan(k-1)，得tan(α-β)=2/k²，故θ=α-β。
公式：tan(α-β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanα tanβ)
提示：注意k=1时，arctan(k-1)=arctan0=0。
步骤 2/4
目标：写出裂项求和表达式
由第一步得：arctan(2/k²)=arctan(k+1)-arctan(k-1)。对k从1到n求和，得到：S_n = [arctan2 - arctan0] + [arctan3 - arctan1] + ... + [arctan(n+1) - arctan(n-1)]。
公式：∑_{k=1}^n arctan(2/k²) = ∑_{k=1}^n [arctan(k+1) - arctan(k-1)]
提示：注意相邻项抵消规律。
步骤 3/4
目标：化简求和结果
观察裂项后的和，中间项相互抵消，剩余：S_n = arctan(n) + arctan(n+1) - arctan(1) - arctan(0)。由于arctan(1)=π/4，arctan(0)=0，得S_n = arctan(n) + arctan(n+1) - π/4。
公式：S_n = arctan(n) + arctan(n+1) - π/4
提示：arctan(1)=π/4，arctan(0)=0。
步骤 4/4
目标：求极限并化为π的倍数
当n→∞时，arctan(n)→π/2，arctan(n+1)→π/2，故S_n → π/2 + π/2 - π/4 = 3π/4。因此极限为3π/4。
公式：lim_{n→∞} arctan(n) = π/2
提示：也可用公式arctan a + arctan b = π + arctan((a+b)/(1-ab)) (ab>1)验证。
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