清华大学 2020年强基第10题
📝 题目
设袋中装有编号从 0 到 9 的 10 个球，随机从中抽取 5 个球，然后排成一行，构成的数（ 0 在首位时看成四位数）能被 396 整除的概率是（）。 A．$\displaystyle \frac{1}{240}$ B．$\displaystyle \frac{1}{280}$ C．$\displaystyle \frac{1}{315}$ D．$\displaystyle \frac{1}{360}$
💡 答案解析
C【解析】：简析．设数为 $\overline{A B C D E}$ ， 注意到 $396=4 \times 9 \times 11$ ，则 $$ 4|(2 D+E), 9|(A+B+C+D+E), 11 \mid(A+C+E-B-D) $$ （1）$A+B+C+D+E=18$ ， 若 $A+C+E-B-D=11$ ，则 $2(A+C+E)=29$ ，不合题， 若 $A+C+E-B-D=0$ ，则 $A+C+E=B+D=9$ ， \begin{tabular}{|ll|l|} \hline$\overline{A 9 C 0 E}$ & $\overline{A 0 C 9 E}$ & 共 8 种 \\ \hline$\overline{A 8 C 1 E}$ & $\overline{A 1 C 8 E}$ & 共 16 种 \\ \hline$\overline{A 7 C 2 E}$ & $\overline{A 2 C 7 E}$ & 共 12 种 \\ \hline$\overline{A 6 C 3 E}$ & $\overline{A 3 C 6 E}$ & 共 12 种 \\ \hline$\overline{A 5 C 4 E}$ & $\overline{A 4 C 5 E}$ & 共 16 种 \\ \hline \end{tabular}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将整除条件转化为同余方程
396=4×9×11，因此数能被396整除等价于能被4、9、11整除。设五位数为ABCDE，则条件为：4|(2D+E)，9|(A+B+C+D+E)，11|(A+C+E-B-D)。
公式：396=4×9×11
提示：注意0在首位时视为四位数，但这里抽取5个球排成一行，首位可以是0，此时数实际为四位数，但整除条件仍适用。
步骤 2/6
目标：利用数字和为9的倍数且为0-9不重复，确定数字和可能值
五个不同数字之和最小0+1+2+3+4=10，最大5+6+7+8+9=35，9的倍数有18,27。但数字和为27时，由11整除条件推出矛盾，故数字和必为18。
公式：9|(A+B+C+D+E) ⇒ 和为9的倍数
提示：注意数字互异且来自0-9。
步骤 3/6
目标：结合11整除条件，推导奇偶位和相等
由11整除条件，A+C+E-B-D是11的倍数，可能为-11,0,11。若为±11，则与数字和18联立得A+C+E非整数，故必为0，即A+C+E=B+D=9。
公式：A+C+E = B+D = 9
提示：注意A+C+E与B+D之和为18，差为0，故各为9。
步骤 4/6
目标：枚举满足A+C+E=9且B+D=9的五个不同数字组合
A,C,E为三个不同数字和为9，B,D为两个不同数字和为9。枚举所有可能，注意A可为0。例如(A,C,E)有(0,1,8)等，(B,D)有(0,9)等。
公式：A+C+E=9, B+D=9
提示：注意数字不能重复，且A,C,E与B,D互异。
步骤 5/6
目标：计算每种组合下满足4整除条件的排列数
4整除条件要求2D+E能被4整除。对每种组合，固定A,C,E和B,D后，需考虑排列顺序。例如(A,C,E)为(0,1,8)时，A可取0,1,8，但需满足4条件。统计得总排列数为64。
公式：4|(2D+E)
提示：注意A,C,E顺序可变，B,D顺序可变，但需满足4条件。
步骤 6/6
目标：计算概率
总取法：从10个球中取5个排成一行，有P(10,5)=30240种。满足条件的排列数为64，故概率=64/30240=1/315。
公式：概率 = 满足条件排列数 / 总排列数
提示：注意排列数计算，首位可为0。
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