清华大学 2020年强基第12题
📝 题目
$\displaystyle \sin \left(\arctan 1+\arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}+\arccos \frac{3 \sqrt{10}}{10}\right)$ 等于（ ）。 A． 1 B．$\displaystyle \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C．$\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ D．$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
💡 答案解析
A【解析】：引入复数 $$ z_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}, z_{2}=\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{i}{\sqrt{5}}, z_{3}=\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{i}{\sqrt{10}} . $$ 则 $$ \arctan 1=\arg z_{1}, \arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}=\arg z_{2}, \arccos \frac{3 \sqrt{10}}{10}=\arg z_{3} . $$ 又注意到 $$ z_{1} z_{2} z_{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{i}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{i}{\sqrt{10}}\right)=1 . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将反三角函数转化为复数辐角
设 z1 = 1/√2 + i/√2，则 arg(z1) = arctan 1。
公式：arctan 1 = arg(1/√2 + i/√2)
提示：注意复数辐角主值范围
步骤 2/6
目标：将 arcsin(√5/5) 转化为复数辐角
设 z2 = 2/√5 + i/√5，则 arg(z2) = arcsin(√5/5)。
公式：arcsin(√5/5) = arg(2/√5 + i/√5)
提示：验证 sin(arg(z2)) = 1/√5
步骤 3/6
目标：将 arccos(3√10/10) 转化为复数辐角
设 z3 = 3/√10 + i/√10，则 arg(z3) = arccos(3√10/10)。
公式：arccos(3√10/10) = arg(3/√10 + i/√10)
提示：验证 cos(arg(z3)) = 3/√10
步骤 4/6
目标：计算三个复数的乘积
计算 z1 * z2 * z3 = (1/√2 + i/√2)(2/√5 + i/√5)(3/√10 + i/√10) = 1。
公式：复数乘法
提示：逐次相乘，化简分母
步骤 5/6
目标：利用辐角性质求原式
原式 = sin(arg(z1) + arg(z2) + arg(z3)) = sin(arg(z1 z2 z3)) = sin(arg(1)) = sin(0) = 0？注意：arg(1)=0，但sin(0)=0，与答案不符，需检查。实际上arg(1)=0，但sin(0)=0，而答案选A=1，说明有误。重新计算乘积：z1 z2 z3 = 1，但辐角之和可能为2π？实际上arg(1)=0，但sin(0)=0，矛盾。检查复数：z1对应45°，z2对应arctan(1/2)≈26.565°，z3对应arctan(1/3)≈18.435°，和=90°，sin90°=1。所以乘积应为i？重新计算：z1=cos45°+i sin45°，z2=cosθ2+i sinθ2，其中tanθ2=1/2，cosθ2=2/√5，sinθ2=1/√5；z3=cosθ3+i sinθ3，tanθ3=1/3，cosθ3=3/√10，sinθ3=1/√10。乘积的辐角=45°+θ2+θ3=90°，所以乘积应为cos90°+i sin90°=i，而不是1。因此原题解析有误？但答案选A，所以乘积应为i，sin90°=1。故修正：z1 z2 z3 = i。
公式：sin(θ1+θ2+θ3) = sin(arg(z1 z2 z3))
提示：注意复数乘积的辐角等于辐角之和，但需考虑模长
步骤 6/6
目标：验证乘积并得出结果
计算得 z1 z2 z3 = i，所以原式 = sin(arg(i)) = sin(π/2) = 1。
公式：sin(π/2)=1
提示：arg(i)=π/2
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