清华大学 2020年强基第13题

AD 【解析】：如图所示，为方便计算，设 $A B=2, P M=4$ ， 则 $B M=\sqrt{2}, B D=2 \sqrt{2}, P B=3 \sqrt{2}$ ， 故 $\displaystyle \sin \alpha=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, \cos \alpha=\frac{1}{3}$ ， 作 $B N \perp P C$ 交 $P C$ 于点 $N$ ，连接 $D N$ ，则 $\beta=\angle B N D$ ， 在 $\triangle P B C$ 中，有 $\displaystyle S_{\triangle P B C}=\frac{1}{2} \cdot B C \cdot \sqrt{P B^{2}-\frac{B C^{2}}{4}}=\frac{1}{2} \cdot P C \cdot B N \Rightarrow B N=\frac{\sqrt{34}}{3}$ ， 在 $\triangle B N D$ 中，由余弦定理，得 $\displaystyle \cos \beta=\frac{B N^{2}+D N^{2}-B D^{2}}{2 B N \cdot D N}=-\frac{1}{17} \Rightarrow \cos \beta=\frac{\cos ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha-2}, \cos \beta \neq \frac{\cos ^{2} \alpha-1}{\cos ^{2} \alpha+1}$ 再利用万能公式，得 $\displaystyle \frac{1-\tan ^{2} \frac{\beta}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{\beta}{2}}=-\frac{1}{17} \Rightarrow \tan \frac{\beta}{2}=\frac{3}{2 \sqrt{2}} \Rightarrow \cot \frac{\beta}{2}=\sin \alpha_{0}$