清华大学 2020年强基第14题
📝 题目
已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{2 \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}+\sin x$ ，在区间 $[-2,2]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则（ ）。 A．$M+m=2$ B．$M+m=1$ C．$M-m=2$ D．$M-m=1$
💡 答案解析
A【解析】：注意到 $$ f(x)+f(-x)=\left(\frac{2 \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}+\sin x\right)+\left(\frac{2 \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{x}}+\sin (-x)\right)=2 $$ 则 $M+m=2$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察函数结构，尝试利用奇偶性
函数 $f(x)=\frac{2e^x}{e^x+e^{-x}}+\sin x$ 包含指数部分和正弦函数。注意到 $\sin x$ 是奇函数，而指数部分 $\frac{2e^x}{e^x+e^{-x}}$ 可能具有某种对称性。考虑计算 $f(-x)$。
提示：注意 $\sin(-x) = -\sin x$，以及 $e^{-x}$ 的运算。
步骤 2/6
目标：计算 $f(-x)$ 的表达式
$$f(-x)=\frac{2e^{-x}}{e^{-x}+e^{x}}+\sin(-x)=\frac{2e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}-\sin x$$
提示：分母 $e^{-x}+e^x = e^x+e^{-x}$，顺序不影响加法。
步骤 3/6
目标：计算 $f(x)+f(-x)$
$$f(x)+f(-x)=\left(\frac{2e^x}{e^x+e^{-x}}+\sin x\right)+\left(\frac{2e^{-x}}{e^x+e^{-x}}-\sin x\right)=\frac{2e^x+2e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=2$$
提示：注意 $\sin x$ 项抵消，分子提取公因子2。
步骤 4/6
目标：分析对称性结论
由 $f(x)+f(-x)=2$ 可知，函数图像关于点 $(0,1)$ 中心对称。即对于任意 $x$，$f(x)$ 和 $f(-x)$ 的平均值为1。
公式：f(x)+f(-x)=2
提示：中心对称意味着最大值和最小值也关于该点对称。
步骤 5/6
目标：利用对称性求最大值与最小值之和
设 $f(x)$ 在区间 $[-2,2]$ 上的最大值为 $M$，最小值为 $m$。由于区间关于原点对称，且函数满足 $f(x)+f(-x)=2$，则最大值点 $x_0$ 对应的 $f(x_0)=M$，其对称点 $-x_0$ 处的函数值为 $f(-x_0)=2-M$。由于 $M$ 是最大值，$2-M$ 应是最小值（或反之），因此 $m=2-M$，从而 $M+m=2$。
提示：注意：最大值和最小值不一定在对称点取到，但由对称性，最大值与最小值的和恒为2。
步骤 6/6
目标：验证选项
由 $M+m=2$，对照选项，A正确。
提示：其他选项如 $M+m=1$、$M-m=2$、$M-m=1$ 均不成立。
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