清华大学 2020年强基第15题
📝 题目
已知函数 $f(x)$ 的图像如图所示，设 $S(t)(a \leq t \leq b)$ 是由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=a, x=t$ 及 $x$ 轴围成的平面图形的面积，则在区间 $[a, b]$ 上（ ）。 A．$f^{\prime}(x)$ 的最大值是 $f^{\prime}(a)$ ，最小值是 $f^{\prime}(c)$ B．$f^{\prime}(x)$ 的最大值是 $f^{\prime}(c)$ ，最小值是 $f^{\prime}(b)$ C．$S^{\prime}(t)$ 的最大值是 $S^{\prime}(a)$ ，最小值是 $S^{\prime}(c)$ D．$S^{\prime}(t)$ 的最大值是 $S^{\prime}(c)$ ，最小值是 $S^{\prime}(b)$ 
💡 答案解析
D【解析】如图所示，$f^{\prime}(x)$ 的最大值为 $f^{\prime}(a)$ ，最小值为 $f^{\prime}(b)$ ， 由导函数的定义，得 $$ S^{\prime}(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta t \cdot f(t)}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} f(t)=f(t) $$ 则 $S^{\prime}(t)$ 的最大值是 $S^{\prime}(c)$ ，最小值是 $S^{\prime}(b)$ ， 注．＂以直代曲＂是微积分中最重要的思想方法之一，
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意和图形
题目给出函数 $f(x)$ 的图像，其中 $a < c < b$，且 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上先增后减，在 $x=c$ 处取得最大值。$S(t)$ 表示由曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$、$x=t$ 和 $x$ 轴围成的面积，即 $S(t)=\int_a^t f(x)\,dx$。
提示：注意 $S(t)$ 是面积函数，其自变量 $t$ 是积分上限。
步骤 2/5
目标：分析 $f'(x)$ 的最值
由图像可知，$f(x)$ 在 $[a,c]$ 上单调递增，在 $[c,b]$ 上单调递减，因此 $f'(x)$ 在 $[a,c]$ 上非负，在 $[c,b]$ 上非正。$f'(x)$ 在 $x=a$ 处为正且最大（因为斜率最大），在 $x=b$ 处为负且最小（因为斜率最小），在 $x=c$ 处为0。所以 $f'(x)$ 的最大值是 $f'(a)$，最小值是 $f'(b)$。
提示：注意 $f'(x)$ 的符号变化，最大值和最小值可能出现在端点。
步骤 3/5
目标：推导 $S'(t)$ 的表达式
由面积函数 $S(t)=\int_a^t f(x)\,dx$，根据微积分基本定理，$S'(t)=f(t)$。因此 $S'(t)$ 就是 $f(t)$ 本身。
公式：$\frac{d}{dt}\int_a^t f(x)\,dx = f(t)$
提示：注意积分上限是变量 $t$，下限是常数 $a$。
步骤 4/5
目标：分析 $S'(t)$ 的最值
由于 $S'(t)=f(t)$，而 $f(t)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值在 $t=c$ 处取得，最小值在 $t=b$ 处取得（因为 $f(b)$ 是区间右端点值，且图像显示 $f(b)$ 小于 $f(a)$ 和 $f(c)$）。因此 $S'(t)$ 的最大值是 $S'(c)$，最小值是 $S'(b)$。
提示：注意 $S'(t)$ 的最值对应 $f(t)$ 的最值，而非 $f'(t)$ 的最值。
步骤 5/5
目标：对比选项得出答案
选项A和B描述的是 $f'(x)$ 的最值，但A说最小值是 $f'(c)$，B说最大值是 $f'(c)$，均不正确。选项C和D描述的是 $S'(t)$ 的最值，C说最大值是 $S'(a)$，最小值是 $S'(c)$，不正确；D说最大值是 $S'(c)$，最小值是 $S'(b)$，正确。因此选D。
提示：注意区分 $f'(x)$ 和 $S'(t)$ 的不同。
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