清华大学 2020年强基第16题
📝 题目
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：对任意 $n \in N^{+}$，存在 $m \in N^{+}$，使得 $S_{n}=a_{m}$ ， 则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 $T$ 数列．下列命题中正确的有 。 A．若 $a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1 & n=1 \\ 2^{n-2} & n \geq 2\end{array}\right\}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 $T$ 数列 B．若 $a_{n}=n a$（其中 $a$ 为常数），则 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 $T$ 数列 C．若 $\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 均为 $T$ 数列，则 $a_{n}=b_{n}+c_{n}$ 为等差数列 D．若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，则存在两个 $T$ 数列 $\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ ，使得 $a_{n}=b_{n}+c_{n}$
💡 答案解析
ABD【解析】：对于选项 A ，取 $m=n+1$ 即可， 对于选项 B ，取 $\displaystyle m=\frac{n(n+1)}{2}$ 即可， 对于选项 C ，取 $b_{n}$ 为选项 A 中的数列，$c_{n} \equiv 0\left(n \in N^{+}\right)$，则 $\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 均为 $T$ 数列，但 $\left\{a_{n}\right\}$ 不是等差数列， 对于选项 D，取 $b_{n}=(2-n) a_{1}, c_{n}=(n-1)\left(a_{1}+d\right)$ 即可， 故选 ABD。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解T数列定义
数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若对任意 $n \in \mathbb{N}^+$，存在 $m \in \mathbb{N}^+$，使得 $S_n = a_m$，则称 $\{a_n\}$ 为 $T$ 数列。即每个部分和都是数列中的某一项。
提示：注意 $m$ 可以依赖于 $n$，且 $m$ 必须是正整数。
步骤 2/6
目标：判断选项A
对于 $a_n = \begin{cases} 1 & n=1 \\ 2^{n-2} & n \geq 2 \end{cases}$，计算 $S_n$：$S_1=1=a_1$；当 $n\geq2$ 时，$S_n = 1 + \sum_{k=2}^n 2^{k-2} = 1 + \frac{2^{n-1}-1}{2-1} = 2^{n-1}$。取 $m=n+1$，则 $a_{n+1}=2^{(n+1)-2}=2^{n-1}=S_n$，故满足定义，A正确。
公式：$S_n = 2^{n-1}$
提示：注意 $n=1$ 时需单独验证。
步骤 3/6
目标：判断选项B
若 $a_n = na$（$a$ 为常数），则 $S_n = a\cdot\frac{n(n+1)}{2}$。取 $m = \frac{n(n+1)}{2}$，则 $a_m = m a = \frac{n(n+1)}{2}a = S_n$，故B正确。
公式：$S_n = a\frac{n(n+1)}{2}$
提示：注意 $m$ 必须是正整数，而 $\frac{n(n+1)}{2}$ 是整数。
步骤 4/6
目标：判断选项C
构造反例：取 $b_n$ 为选项A中的数列，$c_n \equiv 0$（$n\in\mathbb{N}^+$）。易验证 $\{b_n\}$ 和 $\{c_n\}$ 均为 $T$ 数列（$c_n$ 的 $S_n=0$，取 $m=1$ 得 $a_1=0$）。但 $a_n = b_n + c_n = b_n$ 不是等差数列（因为 $b_1=1$，$b_2=1$，$b_3=2$，差不等），故C错误。
提示：反例需满足两个数列都是 $T$ 数列，但和不是等差数列。
步骤 5/6
目标：判断选项D
设等差数列 $\{a_n\}$ 首项为 $a_1$，公差为 $d$，则 $a_n = a_1 + (n-1)d$。构造 $b_n = (2-n)a_1$，$c_n = (n-1)(a_1+d)$。则 $b_n + c_n = (2-n)a_1 + (n-1)(a_1+d) = a_1 + (n-1)d = a_n$。验证 $\{b_n\}$ 和 $\{c_n\}$ 为 $T$ 数列：对于 $b_n$，$S_n^{(b)} = \sum_{k=1}^n (2-k)a_1 = a_1\left(2n - \frac{n(n+1)}{2}\right) = a_1\frac{3n-n^2}{2}$，取 $m = \frac{n(3-n)}{2}$ 即可（注意 $m$ 为正整数）；对于 $c_n$，$S_n^{(c)} = \sum_{k=1}^n (k-1)(a_1+d) = (a_1+d)\frac{n(n-1)}{2}$，取 $m = \frac{n(n-1)}{2}+1$ 即可。故D正确。
公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$
提示：构造的 $b_n$ 和 $c_n$ 需验证是 $T$ 数列，注意 $m$ 的表达式需为正整数。
步骤 6/6
目标：总结答案
由以上分析，正确选项为A、B、D。
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