清华大学 2020年强基第17题

BCD 【解析】：依题意，有 $b^{2} \geq 4 a c$ ， 由齐次性不妨设 $a+b+c=1$ ， （1）首先证明： $\displaystyle \min \{a, b, c\} \leq \frac{1}{4}(a+b+c)$ ． 由对称性不妨设 $a \geq c$ ， 则 $b^{2} \geq 4 a c \geq 4 c^{2} \Rightarrow b \geq 2 c$ ， 故 $\displaystyle 1=a+b+c \geq c+2 c+c=4 c \Rightarrow c \leq \frac{1}{4}$ ， 当 $\displaystyle a=c=\frac{1}{4}, b=\frac{1}{2}$ 时，符合题意， 即命题得证， 又注意到 $\displaystyle \frac{1}{4}\lt \frac{1}{3}$ ，则选项 CD 均成立。 （2）其次证明： $\displaystyle \max \{a, b, c\} \geq \frac{4}{9}(a+b+c)$ ， 若 $\displaystyle b \geq \frac{4}{9}$ ，则命题得证， 当 $\displaystyle b=c=\frac{4}{9}, a=\frac{1}{9}$ 时，符合题意， 若 $\displaystyle b\lt \frac{4}{9}$ ，则 $\displaystyle a+c=1-b\gt \frac{5}{9}$ ， 又注意到 $b^{2} \geq 4 a c$ ，则 $\displaystyle \frac{16}{81}\gt 4 a c\gt 4 a \cdot\left(\frac{5}{9}-a\right) \Rightarrow\left(a-\frac{1}{9}\right) \cdot\left(a-\frac{4}{9}\right)\gt 0 \Rightarrow a \in\left(0, \frac{1}{9}\right) \cup\left(\frac{4}{9},+\infty\right)$ ， 若 $\displaystyle a \in\left(\frac{4}{9},+\infty\right)$ ，则命题得证， 若 $\displaystyle a \in\left(0, \frac{1}{9}\right)$ ，此时 $\displaystyle c\gt \frac{5}{9}-a\gt \frac{4}{9}$ ，则命题得证， 又注意到 $\displaystyle \frac{1}{2}\gt \frac{4}{9}$ ，则选项 A 不成立。