清华大学 2020年强基第18题
📝 题目
已知平面向量 $a, b, c$ 满足 $|a| \leq 2,|b| \leq 1,|a-2 b-c| \leq|a+2 b|$ ，则对所有可能的 $c,|c|$ 的 。 A．最大值为 $4 \sqrt{2}$ B．最大值为 $2 \sqrt{6}$ C．最小值为 0 D．最小值为 $\sqrt{2}$
💡 答案解析
AC 【解析】：当 $a \perp b$ 时，有 $|a-2 b|=|a+2 b|$ ， 令 $c=0$ ，得 $|c|=0$ ， 由三角不等式，得 $|a+2 b| \geq|a-2 b-c| \geq|c|-|a-2 b| \Rightarrow|c| \leq|a-2 b|+|a+2 b|$ ， 再由 Cauchy 不等式，得 $|c|^{2} \leq(|a-2 b|+|a+2 b|)^{2} \leq 2\left(|a-2 b|^{2}+|a+2 b|^{2}\right)=4|a|^{2}+16|b|^{2} \leq 32 \Rightarrow|c| \leq 4 \sqrt{2}$ 当 $a \perp b,|a|=2|b|=2$ ，且 $c=a+2 b$ 时取等号， 综上，$|c|$ 的最小值为 0 ，最大值为 $4 \sqrt{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析条件，寻找|c|的最小值
当a⊥b时，|a-2b|=|a+2b|，令c=0，则|a-2b-c|=|a-2b|≤|a+2b|成立，故|c|可取0，最小值为0。
公式：|a-2b|=|a+2b| 当 a⊥b
提示：考虑特殊情形，取c=0验证条件。
步骤 2/4
目标：利用三角不等式推导|c|的上界
由三角不等式：|a+2b| ≥ |a-2b-c| ≥ |c| - |a-2b|，得|c| ≤ |a-2b| + |a+2b|。
公式：|x| - |y| ≤ |x-y| ≤ |x| + |y|
提示：注意不等式的方向，将|c|分离出来。
步骤 3/4
目标：应用柯西不等式求上界
由柯西不等式：(|a-2b|+|a+2b|)² ≤ 2(|a-2b|²+|a+2b|²) = 2(2|a|²+8|b|²) = 4|a|²+16|b|²。
公式：(x+y)² ≤ 2(x²+y²)
提示：利用平行四边形法则：|a-2b|²+|a+2b|² = 2|a|²+8|b|²。
步骤 4/4
目标：代入已知范围求最大值
由|a|≤2，|b|≤1，得4|a|²+16|b|² ≤ 4×4+16×1=32，故|c|² ≤ 32，即|c| ≤ 4√2。
公式：|c| ≤ 4√2
提示：注意等号成立条件：a⊥b，|a|=2，|b|=1，且c=a+2b。
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