清华大学 2020年强基第19题

BC 【解析】：设点 $B$ 在底面的射影为点 $D$ ，则 $\displaystyle V_{B-A C M}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle A C M} \cdot B D=\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot B D=\frac{\sqrt{2}}{12} \Rightarrow B D=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， 注意到 $\displaystyle B D\lt \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，因此满足题意的点 $B$ 有两个。 （1）二面角 $B-M C-A$ 的平面角为钝角， 由勾股定理，得 $\displaystyle D M=\sqrt{B M^{2}-B D^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, C D=\sqrt{B C^{2}-B D^{2}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$ ， 在 $\triangle D M C$ 中，由余弦定理，得 $\displaystyle \cos \angle D M C=\frac{D M^{2}+M C^{2}-C D^{2}}{2 \cdot D M \cdot M C}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \angle D M C=150^{\circ}$ ． 则 $\angle A M D=180^{\circ}-\angle A M C-\angle D M C=150^{\circ}$ ，在 $\triangle D M A$ 中，由余弦定理，得 $\displaystyle A D^{2}=M A^{2}+M D^{2}-2 \cdot M A \cdot M D \cdot \cos 150^{\circ}=\frac{7}{3}$, 再由勾股定理，得 $A B=\sqrt{A D^{2}+B D^{2}}=\sqrt{3}$ 。 （2）二面角 $B-M C-A$ 的平面角为锐角， 同理，得 $A B=\sqrt{2}$ ， 综上，$A B$ 可以等于 $\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{3}$ 。