清华大学 2020年强基第20题
📝 题目
设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $Z_{1}, Z_{2}, O$ 为坐标原点，若 $\left|z_{1}\right|=1,5 z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-2 z_{1} z_{2}=0$ ，则 $\triangle O Z_{1} Z_{2}$ 的面积为 。 A． 1 B．$\sqrt{3}$ C． 2 D． $2 \sqrt{3}$
💡 答案解析
A 【解析】：注意到 $\displaystyle 5 \cdot\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)^{2}-2 \cdot \frac{z_{1}}{z_{2}}+1=0 \Rightarrow \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{-1 \pm 2 \mathrm{i}}{5}$ 则 $\displaystyle \left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\left|\frac{-1 \pm 2 i}{5}\right|=\frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow\left|z_{2}\right|=\sqrt{5},\left|\sin \left(\arg \frac{z_{1}}{z_{2}}\right)\right|=\frac{2}{\sqrt{5}}$ 故 $$ S_{\Delta O Z_{1} Z_{2}}=\frac{1}{2} \cdot\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| \cdot\left|\sin \left(\arg \frac{z_{1}}{z_{2}}\right)\right|=1 $$ 注．考场上可以直接取特殊值计算，比如令 $z_{1}=1$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将方程转化为关于 z1/z2 的二次方程
由 5z1^2 + z2^2 - 2z1z2 = 0，两边除以 z2^2（z2≠0），得 5(z1/z2)^2 - 2(z1/z2) + 1 = 0。
公式：5(z1/z2)^2 - 2(z1/z2) + 1 = 0
提示：注意 z2 可能为零？但若 z2=0，则方程变为 5z1^2=0，得 z1=0，与 |z1|=1 矛盾，故 z2≠0。
步骤 2/5
目标：解二次方程求 z1/z2
解二次方程 5t^2 - 2t + 1 = 0，其中 t = z1/z2。判别式 Δ = 4 - 20 = -16，解得 t = (2 ± 4i)/10 = (1 ± 2i)/5。
公式：t = (1 ± 2i)/5
提示：注意复数开方，直接使用求根公式。
步骤 3/5
目标：计算 |z1/z2| 和 |z2|
|z1/z2| = |(1 ± 2i)/5| = √(1^2+2^2)/5 = √5/5 = 1/√5。由 |z1|=1，得 |z2| = |z1| / |z1/z2| = 1 / (1/√5) = √5。
公式：|z1/z2| = 1/√5, |z2| = √5
提示：利用模的商等于商的模。
步骤 4/5
目标：计算 sin(θ) 其中 θ = arg(z1/z2)
由 z1/z2 = (1 ± 2i)/5，其实部为 1/5，虚部为 ±2/5，故 |sinθ| = |虚部|/|z1/z2| = (2/5) / (1/√5) = 2/√5。
公式：|sinθ| = 2/√5
提示：sinθ 的绝对值等于虚部除以模。
步骤 5/5
目标：计算三角形面积
三角形 OZ1Z2 的面积 S = (1/2) * |z1| * |z2| * |sin(∠Z1OZ2)|，而 ∠Z1OZ2 = arg(z1) - arg(z2) = arg(z1/z2) = θ，故 S = (1/2)*1*√5*(2/√5)=1。
公式：S = (1/2) * |z1| * |z2| * |sinθ| = 1
提示：面积公式中夹角为向量夹角，即辐角差。
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