清华大学 2020年强基第21题
📝 题目
使得 $n \sin 1\gt 1+5 \cos 1$ 成立的最小正整数 $n$ 等于 。 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
💡 答案解析
C 【解析】：注意到 $\displaystyle \frac{\pi}{3}\gt 1$ ，则 $$ n \sin \frac{\pi}{3}\gt 1+5 \cos \frac{\pi}{3} \Rightarrow n\gt \frac{7}{\sqrt{3}}\gt 4 $$ 又 $n \in N^{+}$，则 $n \geq 5$ ， 下面证明当 $n=5$ 时，原不等式成立，即 $$ 5 \sin 1\gt 1+5 \cos 1 \Leftrightarrow \sin \left(1-\frac{\pi}{4}\right)\gt \frac{1}{5 \sqrt{2}} $$ 利用导数易证函数不等式 $$ \sin x>\frac{2 \sqrt{2}}{\pi} \cdot x, 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用π/3>1进行放缩，得到n的下界
注意到π/3>1，则n sin(π/3) > 1+5 cos(π/3)，即n·√3/2 > 1+5·1/2=7/2，解得n > 7/√3 ≈ 4.04，所以n≥5。
公式：sin(π/3)=√3/2, cos(π/3)=1/2
提示：利用角度1小于π/3，但正弦和余弦的单调性不同，此处直接放缩得到下界。
步骤 2/5
目标：验证n=5时不等式成立
要证5 sin1 > 1+5 cos1，即sin1 - cos1 > 1/5。左边化为√2 sin(1-π/4)，所以需证sin(1-π/4) > 1/(5√2)。
公式：sin x - cos x = √2 sin(x-π/4)
提示：将不等式转化为正弦函数形式，便于利用单调性。
步骤 3/5
目标：利用导数证明sin x > (2√2/π)x在(0,π/4)上成立
令f(x)=sin x - (2√2/π)x，f(0)=0，f'(x)=cos x - 2√2/π。由于cos x在(0,π/4)递减，且cos(π/4)=√2/2 < 2√2/π，故f'(x)<0，f(x)递减，所以f(x)>f(π/4)=0，即sin x > (2√2/π)x。
公式：f'(x)=cos x - 2√2/π
提示：构造辅助函数，利用导数判断单调性。
步骤 4/5
目标：应用不等式证明sin(1-π/4) > 1/(5√2)
取x=1-π/4≈0.2146，则sin x > (2√2/π)x ≈ (2√2/π)*0.2146 ≈ 0.193。而1/(5√2)≈0.1414，所以sin x > 1/(5√2)成立，故n=5时原不等式成立。
公式：sin x > (2√2/π)x
提示：代入数值验证，注意计算精度。
步骤 5/5
目标：确认最小正整数n为5
由前两步知n≥5且n=5时成立，而n=4时不等式不成立（因为n>4.04），所以最小正整数n=5。
提示：结合下界和验证结果确定答案。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。