清华大学 2020年强基第22题

AD 【解析】：已知 $x, y, z$ 均为正实数， 若 $x\lt y$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{3} x^{2}+x+1\lt \frac{1}{3} y^{2}+y+1 \Rightarrow z\lt x$ ， 故 $z\lt y$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{3} z^{2}+z+1\lt \frac{1}{3} y^{2}+y+1 \Rightarrow y\lt x$ ，矛盾！ 若 $x\gt y$ ，同理可导出矛盾！ 则 $x=y$ ，即 $x=y=z$ ， 注意到 $(t+1)^{3}-t^{3}=3 t^{2}+3 t+1$ ，得 $\displaystyle \frac{1}{9} x^{3}-\frac{1}{3} x^{2}-x=1 \Rightarrow 3 \cdot\left(\frac{x}{3}\right)^{3}=3 \cdot\left(\frac{x}{3}\right)^{2}+3 \cdot \frac{x}{3}+1=\left(\frac{x}{3}+1\right)^{3}-\left(\frac{x}{3}\right)^{3} \Rightarrow x=\frac{3}{4^{\frac{1}{3}}-1}$ ， 显然 $x, y, z$ 为相等的无理数。