清华大学 2020年强基第23题

C 【解析】：采用调整法．对于每个确定的 $1 \leq i \leq n$ ，将其余 $x_{j}(\mathrm{j} \neq \mathrm{i})$ 固定，则原式关于 $x_{i}$ 是线性函数．注意到线性函数只会在端点处取到最大值，因此我们仅需考虑 $x_{i}$ 取 0 或 1 的情形。 不妨设 $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{t}=0, x_{t+1}=x_{t+2}=\cdots=x_{21}=1$ ，则 $$ \sum_{i=1}^{21} \sum_{k=1}^{21}\left|x_{i}-x_{k}\right|=2 t \cdot(21-t) \leq 220 $$ 上式当且仅当 $t=10$ 或 11 时取到等号， 注，已知非负实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 均不超过 1 ，记 $P=2 \cdot \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left|x_{i}-x_{j}\right|$ 。 （1）当 $n$ 为偶数时，有 $P$ 的最大值为 $n^{2}$ ， 当 $\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{\frac{n}{2}}=0, x_{\frac{n}{2}+1}=x_{\frac{n}{2}+2}=\cdots=x_{n}=1$ 时取等号。 （2）当 $n$ 为奇数时，有 $P$ 的最大值为 $n^{2}-1$ ， 当 $\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{\frac{n+1}{2}}=0, x_{\frac{n+1}{2}+1}=x_{\frac{n+1}{2}+2}=\cdots=x_{n}=1$ 时取等号。