清华大学 2020年强基第24题
📝 题目
在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，且所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形，若一个格点多边形的内部有 8 个格点，边界上有 10 个格点，则这个格点多边形的面积为（ ）。 A． 10 B． 11 C． 12 D． 13
💡 答案解析
C 【解析】：由 Pick 定理，得 $\displaystyle S=8+\frac{10}{2}-1=12$ ， 注：考场上可直接借助特殊情形处理。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与已知条件
题目给出一个格点多边形，内部格点数为 $I=8$，边界格点数为 $B=10$。要求计算该格点多边形的面积 $S$。
提示：注意区分内部格点和边界格点：边界格点包括多边形顶点和边上的格点。
步骤 2/5
目标：回忆Pick定理
Pick定理：对于格点多边形，其面积 $S$ 与内部格点数 $I$ 和边界格点数 $B$ 的关系为 $S = I + \frac{B}{2} - 1$。
公式：S = I + \frac{B}{2} - 1
提示：Pick定理适用于顶点在格点上的简单多边形。
步骤 3/5
目标：代入已知数值
将 $I=8$ 和 $B=10$ 代入Pick定理公式：$S = 8 + \frac{10}{2} - 1$。
提示：注意分数运算：$\frac{10}{2}=5$。
步骤 4/5
目标：计算面积
计算：$8 + 5 - 1 = 12$。因此，该格点多边形的面积为 $12$。
提示：最后结果是一个整数，符合格点多边形面积的性质。
步骤 5/5
目标：选择答案
根据计算结果，面积为12，对应选项C。
提示：检查选项：A.10, B.11, C.12, D.13。
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