清华大学 2020年强基第25题
📝 题目
设复数 $z$ 满足 $|3 z-7 \mathrm{i}|=3$ ，则 $\displaystyle \left|\frac{z^{2}-2 z+2}{z-1+\mathrm{i}}\right|$ 的（ ）。 A．最大值为 $\displaystyle \frac{8}{3}$ B．最大值为 $\displaystyle \frac{7}{3}$ C．最小值为 $\displaystyle \frac{4}{3}$ D．最小值为 $\displaystyle \frac{2}{3}$
💡 答案解析
AD 【解析】：依题意，有 $$ \left|\frac{z^{2}-2 z+2}{z-1+\mathrm{i}}\right|=\frac{|(z-1+\mathrm{i}) \cdot(z-1-\mathrm{i})|}{|z-1+\mathrm{i}|}=|z-1-\mathrm{i}| $$ 注意到 $\displaystyle \left|z-\frac{7 \mathbf{i}}{3}\right|=1$ ， 则复数 $z$ 在复平面上表示以 $\displaystyle \left(0, \frac{7}{3}\right)$ 为圆心， 1 为半径的圆周， 故 $\displaystyle |z-1-\mathrm{i}| \in\left[\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right]$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简目标表达式
首先，化简表达式 $\left|\frac{z^{2}-2 z+2}{z-1+\mathrm{i}}\right|$。注意到分子 $z^2-2z+2 = (z-1)^2+1 = (z-1+\mathrm{i})(z-1-\mathrm{i})$，因此原式等于 $\frac{|(z-1+\mathrm{i})(z-1-\mathrm{i})|}{|z-1+\mathrm{i}|} = |z-1-\mathrm{i}|$。
公式：$z^2-2z+2 = (z-1+\mathrm{i})(z-1-\mathrm{i})$
提示：注意复数模的性质：$|ab|=|a||b|$，且分母不为零。
步骤 2/6
目标：转化已知条件
已知 $|3z-7\mathrm{i}|=3$，两边除以3得 $\left|z-\frac{7}{3}\mathrm{i}\right|=1$。这表示复数 $z$ 在复平面上对应的点位于以 $(0,\frac{7}{3})$ 为圆心、半径为1的圆上。
公式：$|z-z_0|=r$ 表示以 $z_0$ 为圆心、$r$ 为半径的圆。
提示：注意将 $3z-7\mathrm{i}$ 写成 $3(z-\frac{7}{3}\mathrm{i})$ 再取模。
步骤 3/6
目标：问题转化为几何距离
问题转化为求 $|z-1-\mathrm{i}|$ 的最大值和最小值，其中 $z$ 在圆 $\left|z-\frac{7}{3}\mathrm{i}\right|=1$ 上。$|z-1-\mathrm{i}|$ 表示点 $z$ 到点 $A(1,1)$ 的距离。
提示：明确几何意义：圆上的点到定点的距离。
步骤 4/6
目标：计算圆心到定点的距离
圆心 $C(0,\frac{7}{3})$ 到点 $A(1,1)$ 的距离为 $d = \sqrt{(1-0)^2 + \left(1-\frac{7}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{1+\frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$。
公式：两点间距离公式 $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
提示：注意坐标对应正确，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：求距离的最值
圆上一点到圆外一点的距离的最大值为 $d+r$，最小值为 $|d-r|$。这里 $d=\frac{5}{3}$，$r=1$，所以最大值为 $\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}$，最小值为 $\frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}$。因此 $|z-1-\mathrm{i}| \in \left[\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right]$。
公式：圆外一点到圆上点的距离最值：$d\pm r$
提示：注意当点在圆内时最小值为 $r-d$，但这里点在圆外。
步骤 6/6
目标：选择正确选项
由上述结果，最大值为 $\frac{8}{3}$，最小值为 $\frac{2}{3}$。对应选项A和D。
提示：注意题目要求选择正确的选项，可能为多选题。
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