清华大学 2020年强基第26题
📝 题目
设 $\alpha, \beta$ 为锐角，且 $\displaystyle \cos (\alpha+\beta)=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$ ，则 $\tan \alpha$ 的最大值为（ ）。 A．$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}$ B．$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$ C． 1 D．$\sqrt{2}$
💡 答案解析
A 【解析】：1．由积化和差公式，得 $\displaystyle \sin \alpha=\sin \beta \cos (\alpha+\beta)=\frac{\sin (\alpha+2 \beta)+\sin (-\alpha)}{2} \Rightarrow \sin \alpha=\frac{\sin (\alpha+2 \beta)}{3} \leq \frac{1}{3}$ ， 上式当 $\displaystyle \alpha=\arcsin \frac{1}{3}, \beta=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3}$ 时取等号， 从而 $\tan \alpha$ 的最大值为 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}$ ， 简析 2．注意到 $$ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \Rightarrow \tan \alpha=\frac{\cos \beta}{\sin \beta+\frac{1}{\sin \beta}}=\frac{\sin \beta \cos \beta}{2 \sin ^{2} \beta+\cos ^{2} \beta} $$ 再由 AM－GM 不等式，得 $$ \tan \alpha \leq \frac{\sin \beta \cos \beta}{2 \sqrt{2 \sin ^{2} \beta \cdot \cos ^{2} \beta}}=\frac{\sqrt{2}}{4}, $$ 上式当 $\displaystyle \beta=\arctan \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取等号，
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将已知条件转化为关于α和β的方程
由cos(α+β)=sinα/sinβ，两边乘以sinβ得sinβ cos(α+β)=sinα。
公式：cos(α+β)=sinα/sinβ ⇒ sinβ cos(α+β)=sinα
提示：注意α,β为锐角，sinβ>0。
步骤 2/5
目标：利用积化和差公式化简
sinβ cos(α+β) = (1/2)[sin(β+α+β) + sin(β-α-β)] = (1/2)[sin(α+2β) - sinα]。代入得(1/2)[sin(α+2β)-sinα]=sinα，整理得sin(α+2β)=3sinα。
公式：sinA cosB = (1/2)[sin(A+B)+sin(A-B)]
提示：注意符号：sin(β-α-β)=sin(-α)=-sinα。
步骤 3/5
目标：得到sinα的范围
由sin(α+2β)=3sinα，且|sin(α+2β)|≤1，得3sinα≤1，即sinα≤1/3。由于α为锐角，sinα>0，故0
公式：|sin(α+2β)|≤1 ⇒ 3sinα≤1
提示：锐角正弦为正。
步骤 4/5
目标：求tanα的最大值
tanα=sinα/√(1-sin²α)。令t=sinα∈(0,1/3]，则tanα=t/√(1-t²)在(0,1/3]上单调递增，故当t=1/3时取最大值。计算得tanα=(1/3)/√(1-1/9)=(1/3)/(√8/3)=1/√8=√2/4。
公式：tanα = sinα/√(1-sin²α)
提示：利用单调性求最值。
步骤 5/5
目标：验证等号成立条件
当sinα=1/3时，由sin(α+2β)=1得α+2β=π/2+2kπ，取k=0得β=(π/2-α)/2。由于α=arcsin(1/3)为锐角，β也为锐角，等号可取。
公式：sin(α+2β)=1 ⇒ α+2β=π/2+2kπ
提示：确保β在锐角范围内。
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