清华大学 2020年强基第27题
📝 题目
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+a(x-1)+b$ 在区间 $[1,3]$ 上存在零点，则 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值为（ ）。 A．$\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{2}$ B． e C．$\displaystyle \frac{e^{2}}{2}$ D．$e^{2}$
💡 答案解析
D． 【解析】：设函数 $f(x)$ 的零点为 $t$ ，则 $a(\mathrm{t}-1)+b=-e^{t}$ ，由 Cauchy 不等式，得 $\displaystyle \mathrm{e}^{2 t} \leq[a \cdot(t-1)+b \cdot 1]^{2} \leq\left(a^{2}+b^{2}\right) \cdot\left[(t-1)^{2}+1\right] \Rightarrow a^{2}+b^{2} \geq \frac{\mathrm{e}^{2 t}}{t^{2}-2 t+2}$, 构造函数 $$ g(t)=\frac{\mathrm{e}^{2 t}}{t^{2}-2 t+2}, 1 \leq t \leq 3 $$ 求其一阶导数，得 $$ g^{\prime}(t)=\frac{2 \mathrm{e}^{2 t} \cdot\left(t^{2}-3 t+3\right)}{\left(t^{2}-2 t+2\right)^{2}}\gt 0 $$ 即 $g(t)$ 在区间 $[1,3]$ 递增， 故 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值为 $g(1)=\mathrm{e}^{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设零点并建立方程
设函数f(x)的零点为t，则f(t)=0，即e^t + a(t-1) + b = 0，整理得a(t-1) + b = -e^t。
公式：f(t)=0 ⇒ a(t-1)+b=-e^t
提示：零点t在区间[1,3]内
步骤 2/5
目标：应用柯西不等式
由柯西不等式：(a(t-1)+b·1)^2 ≤ (a^2+b^2)[(t-1)^2+1^2]，代入a(t-1)+b=-e^t得e^{2t} ≤ (a^2+b^2)(t^2-2t+2)。
公式：e^{2t} ≤ (a^2+b^2)(t^2-2t+2)
提示：柯西不等式形式：(x1y1+x2y2)^2 ≤ (x1^2+x2^2)(y1^2+y2^2)
步骤 3/5
目标：推导a^2+b^2的下界函数
由不等式得a^2+b^2 ≥ e^{2t}/(t^2-2t+2)，定义g(t)=e^{2t}/(t^2-2t+2)，t∈[1,3]。
公式：a^2+b^2 ≥ g(t)=e^{2t}/(t^2-2t+2)
提示：下界函数g(t)依赖于零点t
步骤 4/5
目标：求g(t)的导数并判断单调性
求导得g'(t)=[2e^{2t}(t^2-3t+3)]/(t^2-2t+2)^2，由于t^2-3t+3>0恒成立，故g'(t)>0，g(t)在[1,3]上单调递增。
公式：g'(t)=2e^{2t}(t^2-3t+3)/(t^2-2t+2)^2 > 0
提示：判别式Δ=9-12=-3<0，所以二次式恒正
步骤 5/5
目标：计算最小值
g(t)在t=1处取最小值，g(1)=e^{2}/(1-2+2)=e^2，故a^2+b^2的最小值为e^2。
公式：g(1)=e^2
提示：对应选项D
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