清华大学 2020年强基第28题
📝 题目
设 $A, B$ 分别是 $x$ 轴，$y$ 轴上的动点，若以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $2 x+y-4=0$ 相切，则圆 $C$面积的最小值为（ ）。 A．$\displaystyle \frac{\pi}{5}$ B．$\displaystyle \frac{2 \pi}{5}$ C．$\displaystyle \frac{4 \pi}{5}$ D．$\pi$
💡 答案解析
C 【解析】：设 $O$ 为原点，圆 $C$ 与直线 $2 x+y-4=0$ 相切于点 $D$ ， 设点 $O$ 到直线 $2 x+y-4=0$ 的距离为 $d$ ，圆 $C$ 半径为 $r$ ， 则 $\displaystyle 2 r=C O+C D \geq d \Rightarrow r \geq \frac{2}{\sqrt{5}}$ ， 上式当且仅当 $O, C, P$ 三点共线时取等号， 故圆 $C$ 的面积 $\displaystyle S=\pi r^{2} \geq \frac{4 \pi}{5}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意并建立几何关系
设A在x轴上，B在y轴上，以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切。求圆C面积的最小值。
提示：注意圆C的圆心是AB中点，半径是AB的一半。
步骤 2/6
目标：利用直径所对圆周角为直角，得到OC与半径的关系
设O为原点，则∠AOB=90°，所以O在以AB为直径的圆上，即O在圆C上。因此OC=r。
公式：OC = r
提示：O在圆C上，所以圆心到原点的距离等于半径。
步骤 3/6
目标：利用相切条件得到CD=r
设圆C与直线相切于点D，则CD⊥直线，且CD=r。
公式：CD = r
提示：切点到圆心的距离等于半径。
步骤 4/6
目标：应用三角形不等式求r的最小值
在三角形OCD中，OC+CD≥OD，即2r≥OD。OD的最小值为原点O到直线的距离d。
公式：2r ≥ d，d = |2*0+0-4|/√(2^2+1^2)=4/√5
提示：当O、C、D三点共线时取等号。
步骤 5/6
目标：计算半径的最小值
由2r ≥ 4/√5得r ≥ 2/√5。所以半径的最小值为2/√5。
公式：r_min = 2/√5
步骤 6/6
目标：计算圆面积的最小值
圆面积S=πr^2，代入r_min得S_min=π*(2/√5)^2=4π/5。
公式：S_min = 4π/5
提示：对应选项C。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。