清华大学 2020年强基第29题
📝 题目
已知实数 $a, b$ 满足 $a^{3}+b^{3}+3 a b=1$ ，设 $a+b$ 的所有可能值构成的集合为 $M$ ，则（ ）。 A．$M$ 为单元素集 B．$M$ 为有限集，但不是单元素集 C．$M$ 为无限集，且有下界 D．$M$ 为无限集，且无下界
💡 答案解析
B 【解析】：注意到 $$ a^{3}+b^{3}+(-1)^{3}-3 a b \cdot(-1)=0 \Leftrightarrow(a+b-1) \cdot\left[(a-b)^{2}+(a+1)^{2}+(b+1)^{2}\right]=0 $$ 则 $a+b=1$ 或 -2 ， 即 $M$ 为有限集，但不是单元素集， 注．需要熟知如下因式分解： $$ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c=(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right) $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别已知条件与目标
已知 a^3 + b^3 + 3ab = 1，求 a+b 的所有可能值构成的集合 M 的性质。
提示：注意方程形式，联想到立方和公式。
步骤 2/6
目标：应用因式分解公式
将方程改写为 a^3 + b^3 + (-1)^3 - 3ab(-1) = 0，利用公式 a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)。
公式：a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
提示：令 c = -1，则 3ab(-1) = -3ab，与原式 3ab 符号相反，注意调整。
步骤 3/6
目标：代入并化简
代入 c = -1，得 (a+b-1)[(a-b)^2+(a+1)^2+(b+1)^2] = 0。
提示：平方和形式非负，注意因式分解结果。
步骤 4/6
目标：分析因式等于零的条件
由乘积为零得 a+b-1=0 或 (a-b)^2+(a+1)^2+(b+1)^2=0。后者要求 a=b=-1，此时 a+b=-2。
提示：平方和为零当且仅当每个平方项为零。
步骤 5/6
目标：得出 a+b 的可能值
因此 a+b=1 或 a+b=-2，即 M = {1, -2}。
提示：注意 a=b=-1 时满足原方程。
步骤 6/6
目标：判断集合 M 的性质
M 有两个元素，是有限集但不是单元素集，故选 B。
提示：选项分析：单元素集、有限集、无限集等。
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