清华大学 2020年强基第30题
📝 题目
设 $x, y$ 为不同的正整数，给出以下三个结论，其中正确结论的个数是（ ）。 （1）$y^{2}+2 x$ 与 $x^{2}+2 y$ 不可能同时为完全平方数 （2）$y^{2}+4 x$ 与 $x^{2}+4 y$ 不可能同时为完全平方数 （3）$y^{2}+6 x$ 与 $x^{2}+6 y$ 不可能同时为完全平方数 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
💡 答案解析
C 【解析】：对于结论（1），不妨设 $x \geq y$ ， 则 $x^{2}\lt x^{2}+2 y \leq x^{2}+2 x\lt (x+1)^{2}$ ， 即 $x^{2}+2 y$ 不是完全平方数， 对于结论（2），不妨设 $x \geq y$ ， 则 $x^{2}\lt x^{2}+4 y \leq x^{2}+4 x\lt (x+2)^{2}$ ， 若 $x^{2}+4 y$ 是完全平方数，则 $x^{2}+4 y=(x+1)^{2} \Rightarrow 4 y=2 x+1$ ，无解！ 即 $x^{2}+4 y$ 不是完全平方数， 对于结论（3），取 $x=32, y=22$ ，得 $y^{2}+6 x=26^{2}, x^{2}+6 y=34^{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析结论（1）
不妨设x≥y，则x² < x²+2y ≤ x²+2x < (x+1)²，因此x²+2y介于两个连续平方数之间，不是完全平方数，故（1）正确。
公式：x^2 < x^2+2y ≤ x^2+2x < (x+1)^2
提示：利用平方数之间的间隔
步骤 2/4
目标：分析结论（2）
不妨设x≥y，则x² < x²+4y ≤ x²+4x < (x+2)²。若x²+4y为完全平方数，只能是(x+1)²，得4y=2x+1，左边偶数右边奇数，无解，故（2）正确。
公式：x^2 < x^2+4y ≤ x^2+4x < (x+2)^2; 4y=2x+1
提示：注意奇偶性分析
步骤 3/4
目标：分析结论（3）
取反例x=32, y=22，计算得y²+6x=26²，x²+6y=34²，两者均为完全平方数，故（3）错误。
公式：22^2+6×32=26^2; 32^2+6×22=34^2
提示：构造反例
步骤 4/4
目标：统计正确结论个数
结论（1）和（2）正确，结论（3）错误，因此正确结论个数为2。
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