清华大学 2020年强基第31题
📝 题目
设随机变量 $X$ 的概率分布列为 $\displaystyle P(x=k)=\frac{1}{2^{k}}(k=1,2,3, \cdots)$ ，$Y$ 表示 $X$ 被 3 除的余数，则随机 变量 $Y$ 的数学期望 $E Y$ 等于 ）。 A． 1 B．$\displaystyle \frac{8}{7}$ C．$\displaystyle \frac{9}{7}$ D．$\displaystyle \frac{3}{2}$
💡 答案解析
B 【解析】：注意到 $$ E Y=\left(\frac{1}{2} \cdot 1+\frac{1}{2^{2}} \cdot 2+\frac{1}{2^{3}} \cdot 0\right) \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{8^{n}}=\frac{1}{1-\frac{1}{8}}=\frac{8}{7} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意，明确Y的取值
X被3除的余数Y可取0,1,2。需计算每个余数对应的概率，再求期望。
提示：注意X取值1,2,3,...，余数循环周期为3。
步骤 2/6
目标：计算Y=0的概率
Y=0对应X=3,6,9,...，即k=3n。概率和为∑_{n=1}^∞ 1/2^{3n} = 1/8 + 1/64 + ... = (1/8)/(1-1/8)=1/7。
公式：∑_{n=1}^∞ (1/8)^n = 1/7
提示：等比数列求和，公比1/8。
步骤 3/6
目标：计算Y=1的概率
Y=1对应X=1,4,7,...，即k=3n+1。概率和为∑_{n=0}^∞ 1/2^{3n+1} = (1/2) * ∑_{n=0}^∞ (1/8)^n = (1/2)*(1/(1-1/8))=4/7。
公式：∑_{n=0}^∞ (1/8)^n = 8/7
提示：注意n从0开始，首项1/2。
步骤 4/6
目标：计算Y=2的概率
Y=2对应X=2,5,8,...，即k=3n+2。概率和为∑_{n=0}^∞ 1/2^{3n+2} = (1/4) * ∑_{n=0}^∞ (1/8)^n = (1/4)*(8/7)=2/7。
公式：∑_{n=0}^∞ (1/8)^n = 8/7
提示：首项1/4。
步骤 5/6
目标：验证概率和为1
P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=1/7+4/7+2/7=1，正确。
提示：检查概率分布是否完备。
步骤 6/6
目标：计算数学期望EY
EY = 0*(1/7) + 1*(4/7) + 2*(2/7) = 0 + 4/7 + 4/7 = 8/7。
公式：E(Y)=∑ y * P(Y=y)
提示：直接代入期望公式。
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