清华大学 2020年强基第32题
📝 题目
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $\displaystyle S_{n}=(-1)^{n} \cdot a_{n}+\frac{1}{2^{n}}+n-3$ ，且实数 $t$ 满足 $\left(t-a_{n}\right)\left(t-a_{n+1}\right)\lt 0$ ，则 $t$ 的取值范围是 。 A．$\displaystyle \left(-\frac{3}{4}, \frac{11}{4}\right)$ B．$\displaystyle \left(-\frac{3}{4}, \frac{11}{5}\right)$ C．$\displaystyle \left(-\frac{3}{5}, \frac{11}{4}\right)$ D．$\displaystyle \left(-\frac{3}{5}, \frac{11}{5}\right)$
💡 答案解析
A 【解析】：注意到 $$ \left\{\begin{array}{l} S_{n}=(-1)^{n} \cdot a_{n}+\frac{1}{2^{n}}+n-3 \\ S_{n+1}=(-1)^{n+1} \cdot a_{n+1}+\frac{1}{2^{n+1}}+(n+1)-3 \end{array}\right. $$ 两式作差，得 $$ a_{n+1}-(-1)^{n+1} a_{n+1}=1-(-1)^{n} a_{n}-\frac{1}{2^{n+1}} $$ 若 $2 \nmid n$ ，则 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2^{n+1}}-1$ ， 若 $2 \mid n$ ，则 $\displaystyle a_{n}=3-\frac{1}{2^{n}}$ ，
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出S_n和S_{n+1}的表达式
由已知，S_n = (-1)^n a_n + 1/2^n + n - 3，S_{n+1} = (-1)^{n+1} a_{n+1} + 1/2^{n+1} + (n+1) - 3。
公式：S_n = (-1)^n a_n + 1/2^n + n - 3
提示：注意n+1时(-1)的指数变化。
步骤 2/6
目标：两式相减得到递推关系
S_{n+1} - S_n = a_{n+1}，代入表达式得：a_{n+1} = (-1)^{n+1} a_{n+1} + 1/2^{n+1} + 1 - [(-1)^n a_n + 1/2^n]。整理得：a_{n+1} - (-1)^{n+1} a_{n+1} = 1 - (-1)^n a_n - 1/2^{n+1}。
公式：a_{n+1} - (-1)^{n+1} a_{n+1} = 1 - (-1)^n a_n - 1/2^{n+1}
提示：注意S_{n+1} - S_n = a_{n+1}。
步骤 3/6
目标：分奇偶讨论求通项
当n为奇数时，(-1)^n = -1，(-1)^{n+1}=1，代入得：a_{n+1} - a_{n+1} = 1 + a_n - 1/2^{n+1}，即0 = 1 + a_n - 1/2^{n+1}，所以a_n = 1/2^{n+1} - 1。当n为偶数时，(-1)^n=1，(-1)^{n+1}=-1，代入得：a_{n+1} + a_{n+1} = 1 - a_n - 1/2^{n+1}，即2a_{n+1} = 1 - a_n - 1/2^{n+1}，但更直接由原式得a_n = 3 - 1/2^n。
公式：n为奇数：a_n = 1/2^{n+1} - 1；n为偶数：a_n = 3 - 1/2^n
提示：注意n的奇偶性影响(-1)^n的值。
步骤 4/6
目标：写出数列前几项
n=1（奇数）：a_1 = 1/2^2 - 1 = 1/4 - 1 = -3/4。n=2（偶数）：a_2 = 3 - 1/2^2 = 3 - 1/4 = 11/4。n=3（奇数）：a_3 = 1/2^4 - 1 = 1/16 - 1 = -15/16。n=4（偶数）：a_4 = 3 - 1/2^4 = 3 - 1/16 = 47/16。
公式：a_1=-3/4, a_2=11/4, a_3=-15/16, a_4=47/16
提示：计算时注意指数。
步骤 5/6
目标：分析不等式(t-a_n)(t-a_{n+1})<0
该不等式表示t介于a_n和a_{n+1}之间。由于a_n和a_{n+1}一正一负交替，t必须同时满足所有这样的区间。观察前几项：a_1=-3/4, a_2=11/4，区间(-3/4,11/4)；a_2=11/4, a_3=-15/16，区间(-15/16,11/4)；a_3=-15/16, a_4=47/16，区间(-15/16,47/16)。公共部分为(-3/4,11/4)。
公式：t ∈ ∩ (a_n, a_{n+1})
提示：注意区间方向：若a_n < a_{n+1}则t∈(a_n,a_{n+1})，否则t∈(a_{n+1},a_n)。
步骤 6/6
目标：确定t的取值范围
所有区间交集为(-3/4,11/4)，因为a_1最小，a_2最大，后续项逐渐靠近但不会超出此范围。故选A。
公式：t ∈ (-3/4, 11/4)
提示：验证n=1和n=2的区间已确定边界。
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