清华大学 2020年强基第34题
📝 题目
已知数列 $A: a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{20}$ 满足 $a_{0}=0,\left|a_{i}\right|=\left|a_{i-1}+1\right|(i=1,2, \cdots, 20)$ ，则 。 A ．存在这样的数列 $A$ ，使得 $\left|a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{20}\right|=0$ B．存在这样的数列 $A$ ，使得 $\left|a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{20}\right|=2$ C．存在这样的数列 $A$ ，使得 $\left|a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{20}\right|=10$ D．存在这样的数列 $A$ ，使得 $\left|a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{20}\right|=12$
💡 答案解析
BC 【解析】：注意到 $$ a_{i}^{2}=\left(a_{i-1}+1\right)^{2} \Rightarrow a_{i-1}=\frac{a_{i}^{2}-a_{i-1}^{2}-1}{2}, 1 \leq i \leq 20 $$ 对 $i$ 作累加，得 $\displaystyle P=\left|\sum_{i=0}^{20} a_{i}\right|=\left|\sum_{i=0}^{20} \frac{a_{i+1}^{2}-a_{i}^{2}-1}{2}\right|=\left|\frac{\sum_{i=0}^{20}\left(a_{i+1}^{2}-a_{i}^{2}\right)-21}{2}\right|=\frac{\left|a_{21}^{2}-21\right|}{2}$ ， 又 $a_{21}^{2} \in N$ ，则 $P \neq 0,12$ ， 取 $a_{0}=0, a_{1}=-1, a_{2}=0, a_{3}=-1, \cdots, a_{16}=0, a_{17}=1, a_{18}=2, \cdots, a_{21}=5$ ，得 $P=2$ ， 取 $a_{0}=0, a_{1}=-1, a_{2}=0, a_{3}=-1, \cdots, a_{20}=0, a_{21}=1$ ，得 $P=10$ ， 注．$\left|\sum_{i=0}^{20} a_{i}\right| \equiv 2 \bmod 4$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：推导递推关系
由条件|a_i| = |a_{i-1}+1|，两边平方得a_i^2 = (a_{i-1}+1)^2，展开得a_i^2 = a_{i-1}^2 + 2a_{i-1} + 1，整理得a_{i-1} = (a_i^2 - a_{i-1}^2 - 1)/2。
公式：a_i^2 = (a_{i-1}+1)^2
提示：平方消去绝对值
步骤 2/4
目标：求和并化简
对i=1到20求和：∑_{i=1}^{20} a_{i-1} = (1/2)∑_{i=1}^{20}(a_i^2 - a_{i-1}^2 - 1)。左边为∑_{i=0}^{19} a_i，右边裂项得(a_{20}^2 - a_0^2 - 20)/2。注意a_0=0，故∑_{i=0}^{19} a_i = (a_{20}^2 - 20)/2。再考虑a_{20}项，总和的绝对值P = |∑_{i=0}^{20} a_i| = |(a_{20}^2 - 20)/2 + a_{20}| = |a_{20}^2 + 2a_{20} - 20|/2 = |(a_{20}+1)^2 - 21|/2。
公式：P = |(a_{20}+1)^2 - 21|/2
提示：注意求和范围包括a_{20}
步骤 3/4
目标：分析P的可能取值
设b = a_{20}+1，则b为整数，P = |b^2 - 21|/2。b^2为完全平方数，21附近平方数有16,25，对应P=2.5或2，但P需为整数，故b^2=25时P=2，b^2=16时P=2.5舍去。另外b^2=1时P=10，b^2=9时P=6，b^2=4时P=8.5舍去，b^2=0时P=10.5舍去。可能P值为2,6,10等。
公式：P = |b^2-21|/2
提示：b为整数，P需为整数
步骤 4/4
目标：构造数列验证选项
构造数列使a_{20}=4，则b=5，P=2，对应选项B。构造数列使a_{20}=0，则b=1，P=10，对应选项C。注意P不能为0（b^2=21无整数解）和12（b^2=45非平方数）。故选项B、C正确。
提示：通过具体构造验证
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