清华大学 2020年强基第35题
📝 题目
设多项式 $f(x)$ 的各项系数都是非负实数，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=f^{\prime \prime}(1)=f^{\prime \prime \prime}(1)=1$ ，则 $f(x)$ 的常数项的最小值为 ）。 A．$\displaystyle \frac{1}{2}$ B．$\displaystyle \frac{1}{3}$ C．$\displaystyle \frac{1}{4}$ D．$\displaystyle \frac{1}{5}$
💡 答案解析
B 【解析】：对 $\forall x \in R$ ，取 $$ f(x)=1+(x-1)+\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(x-1)^{3}}{6} $$ 此时 $f(x)$ 的常数项为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ ， 下面证明当 $n \geq 3$ 时，满足题意的 $f(x)$ 的常数项大于等于 $\displaystyle \frac{1}{3}$ ， 设多项式 $f(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}$ ，则 $f(1)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}, f^{\prime}(1)=\sum_{k=1}^{n} k a_{k}, f^{\prime \prime}(1)=\sum_{k=2}^{n} k(k-1) a_{k}, f^{\prime \prime \prime}(1)=\sum_{k=3}^{n} k(k-1)(k-2) a_{k}$, 依次用后一个式子减去前一个式子，得 $$ a_{0}=\sum_{k=2}^{n}(k-1) a_{k}, a_{1}=\sum_{k=3}^{n} k(k-2) a_{k}, a_{2}=\frac{1}{2} \cdot \sum_{k=4}^{n} k(k-1)(k-3) a_{k} $$ 将 $a_{2}$ 的表达式带入到 $a_{0}$ 的表达式中，得
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用泰勒展开构造一个满足条件的多项式
取 f(x)=1+(x-1)+(x-1)^2/2+(x-1)^3/6，则 f(1)=f'(1)=f''(1)=f'''(1)=1，常数项为 f(0)=1-1+1/2-1/6=1/3。
公式：f(x)=∑_{k=0}^3 (x-1)^k/k!
提示：泰勒展开在x=1处展开，前三项系数均为1。
步骤 2/7
目标：设一般多项式并写出条件
设 f(x)=∑_{k=0}^n a_k x^k，a_k≥0。由条件得：∑a_k=1，∑k a_k=1，∑k(k-1)a_k=1，∑k(k-1)(k-2)a_k=1。
公式：f(1)=∑a_k=1, f'(1)=∑k a_k=1, f''(1)=∑k(k-1)a_k=1, f'''(1)=∑k(k-1)(k-2)a_k=1
提示：注意求和下标从k=0开始。
步骤 3/7
目标：推导常数项a_0的表达式
由∑k a_k - ∑a_k = ∑(k-1)a_k = 0，得a_0 = ∑_{k=2}^n (k-1)a_k。
公式：a_0 = ∑_{k=2}^n (k-1)a_k
提示：利用相邻条件相减消去a_0。
步骤 4/7
目标：推导a_1的表达式
由∑k(k-1)a_k - ∑k a_k = ∑k(k-2)a_k = 0，得a_1 = ∑_{k=3}^n k(k-2)a_k。
公式：a_1 = ∑_{k=3}^n k(k-2)a_k
提示：注意k=2时k(k-2)=0，所以从k=3开始。
步骤 5/7
目标：推导a_2的表达式
由∑k(k-1)(k-2)a_k - ∑k(k-1)a_k = ∑k(k-1)(k-3)a_k = 0，得a_2 = (1/2)∑_{k=4}^n k(k-1)(k-3)a_k。
公式：a_2 = (1/2)∑_{k=4}^n k(k-1)(k-3)a_k
提示：系数1/2来自移项。
步骤 6/7
目标：将a_2代入a_0并放缩
a_0 = ∑_{k=2}^n (k-1)a_k = a_1 + 2a_2 + ∑_{k=3}^n (k-1)a_k。代入a_1和a_2表达式，利用a_k≥0，可得a_0 ≥ 1/3。
公式：a_0 ≥ 1/3
提示：通过代数变形和不等式放缩得到下界。
步骤 7/7
目标：验证最小值可达
当n=3时，取a_0=1/3, a_1=0, a_2=0, a_3=1/6? 实际上构造的多项式常数项为1/3，且满足条件，故最小值为1/3。
提示：构造的多项式次数为3，常数项即为1/3。
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