清华大学 2020年强基第36题
📝 题目
已知 $\displaystyle f(z)=z^{10}+\frac{1}{z^{10}}+\frac{1}{2}\left(z^{5}+\frac{1}{z^{5}}\right)$ ，则 。 A．$f(z)=0$ 存在实数解 B．$f(z)=0$ 共有 20 个不同的复数解 C．$f(z)=0$ 复数解的模长均为 1 D．$f(z)=0$ 存在模长大于 1 的复数解
💡 答案解析
BC 【解析】：记 $\displaystyle t=z^{5}+\frac{1}{z^{5}}$ ，则 $$ f(z)=\left(t^{2}-2\right)+\frac{t}{2}=0 \Rightarrow t=\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4} \in(-2,2) $$ 若 $f(z)=0$ 存在实数解 $z_{0}$ ， 由 AM－GM 不等式，得 $$ \left|z_{0}^{5}+\frac{1}{z_{0}^{5}}\right|=\left|z_{0}^{5}\right|+\frac{1}{\left|z_{0}^{5}\right|} \geq 2 $$ 但这与 $t \in(-2,2)$ 矛盾！ 即 $f(z)=0$ 不存在实数解，又注意到
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入变量t简化方程
令 t = z^5 + 1/z^5，则 z^10 + 1/z^10 = t^2 - 2，代入原方程得 t^2 - 2 + t/2 = 0。
公式：t = z^5 + 1/z^5, z^10 + 1/z^10 = t^2 - 2
提示：利用平方和公式将高次项转化为t的二次式。
步骤 2/5
目标：求解t的二次方程
解方程 t^2 + t/2 - 2 = 0，即 2t^2 + t - 4 = 0，得 t = (-1 ± √33)/4。计算得 t ≈ 1.186 或 -1.686，均在区间(-2,2)内。
公式：2t^2 + t - 4 = 0, t = (-1 ± √33)/4
提示：判别式Δ=1+32=33>0，有两个实根。
步骤 3/5
目标：分析实数解的存在性
若z为实数，由AM-GM不等式，|z^5 + 1/z^5| ≥ 2，当且仅当|z^5|=1时取等。但t ∈ (-2,2)，故无实数解，选项A错误。
公式：|z^5 + 1/z^5| ≥ 2
提示：注意实数时绝对值不等式成立条件。
步骤 4/5
目标：确定复数解的模长
由t = z^5 + 1/z^5 ∈ (-2,2)，设z = re^{iθ}，则z^5 + 1/z^5 = r^5 e^{5iθ} + r^{-5} e^{-5iθ}。其实部为(r^5 + r^{-5})cos5θ，虚部为(r^5 - r^{-5})sin5θ。由于t为实数，虚部为0，故(r^5 - r^{-5})sin5θ=0。若r≠1，则sin5θ=0，此时实部为(r^5 + r^{-5})cos5θ，其绝对值≥2，与t∈(-2,2)矛盾。故r=1，所有复数解模长为1，选项C正确，D错误。
公式：z = re^{iθ}, z^5 + 1/z^5 = (r^5 + r^{-5})cos5θ + i(r^5 - r^{-5})sin5θ
提示：利用t为实数条件推导模长。
步骤 5/5
目标：计算解的个数
由t = z^5 + 1/z^5 = c（c为常数），得z^10 - c z^5 + 1=0。这是关于z^5的二次方程，每个t对应两个z^5解，每个z^5对应5个z解，共2×2×5=20个解，但需检查重根。由于c≠±2，判别式非零，无重根，故有20个不同复数解，选项B正确。
公式：z^10 - c z^5 + 1 = 0
提示：注意每个z^5对应5个z的5次方根。
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