北京大学 2023年强基第1题
📝 题目
一个凸十边形，任意三条对角线无公共交点，所有对角线可以把图形分成 个小多边形。 A． 245 B． 246 C． 247 D，以上答案均不对
💡 答案解析
B【解析】设分成区域的个数为 $F$ ，其相当于某个具有 $F+1$ 个面的多面体的投在其中一个面所在面的投影，则 $V+F-E=1$ ，其中 $V=10+C_{10}^{4}=220$ ，（下面考虑对角线两边的点数） $E=10+10[(1 \times 7+1)+(2 \times 6+1)+(3 \times 5+1)]+5(4 \times 4+1)=465$ 所以解得 $F=246$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将多边形分割问题转化为多面体投影问题
设分割区域数为F，考虑一个多面体投影到某面所在平面，顶点数V、边数E、面数F满足欧拉公式V+F-E=1。
公式：V+F-E=1
提示：投影后多面体底面为原多边形，顶点和边对应原多边形顶点和对角线交点。
步骤 2/8
目标：计算顶点数V
顶点包括原十边形的10个顶点和所有对角线交点。任意三条对角线无公共交点，每个交点由4个顶点确定，故交点数为C(10,4)=210，总顶点数V=10+210=220。
公式：V=10+C(10,4)=220
提示：每个对角线交点对应4个顶点，无重复。
步骤 3/8
目标：计算边数E
边包括原十边形的10条边和对角线被交点分割成的线段。先计算对角线总数：C(10,2)-10=35条。每条对角线被交点分割成若干段，段数等于该对角线上交点数加1。
公式：E=10+∑(段数)
提示：需分类计算不同长度对角线上交点数。
步骤 4/8
目标：分类计算对角线上的交点数
按对角线连接顶点间隔数分类：间隔1（相邻顶点）无对角线；间隔2有10条，每条上交点数为1×7+1=8？实际需重新计算：间隔k的对角线，两侧顶点数分别为k-1和10-k-1，交点数=(k-1)(10-k-1)。
公式：交点数=(k-1)(9-k)
提示：k为间隔顶点数，k=2,3,4,5。
步骤 5/8
目标：计算各间隔对角线条数和段数
间隔2：10条，每条交点数=1×7=7，段数=7+1=8；间隔3：10条，每条交点数=2×6=12，段数=13；间隔4：10条，每条交点数=3×5=15，段数=16；间隔5：5条，每条交点数=4×4=16，段数=17。
公式：段数=交点数+1
提示：间隔5的对角线只有5条（正十边形中）。
步骤 6/8
目标：计算总边数E
原十边形10条边。对角线总段数：10×8 + 10×13 + 10×16 + 5×17 = 80+130+160+85=455。总边数E=10+455=465。
公式：E=10+455=465
提示：注意不要遗漏原边。
步骤 7/8
目标：代入欧拉公式求解F
由V+F-E=1得220+F-465=1，解得F=246。
公式：F=1+E-V=1+465-220=246
提示：注意公式中面数F不包括投影面。
步骤 8/8
目标：选择答案
计算得F=246，对应选项B。
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