北京大学 2023年强基第2题
📝 题目
已知 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ ，则 $1+\cos x+i \sin x-\cos 2 x-i \sin 2 x+\cos 3 x+i \sin 3 x=0$ 在 $[0,2 \pi]$ 上的解 $x$的个数 。 A． 0 B． 1 C． 2 D．以上都不对
💡 答案解析
A【解析】引入复数 $z=\cos \theta+i \sin \theta$ ，则方程等价于 $z^{3}-z^{2}+z+1=0$ 。注意到该方程的实根 $r \neq \pm 1$ ，因此若 $\omega$ 是复根，则 $\omega, \bar{\omega}, r$ 为全部根，从而 $\displaystyle |\omega|^{2}=\omega \bar{\omega}=\frac{-1}{r} \neq 1$ ，所以方程没有模长为 1 的根，从而无解。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将三角形式转化为复数形式
令 z = cos x + i sin x，则原方程变为 1 + z - z^2 + z^3 = 0，即 z^3 - z^2 + z + 1 = 0。
公式：z = cos x + i sin x
提示：注意 cos kx + i sin kx = z^k。
步骤 2/5
目标：分析三次方程的根
方程 z^3 - z^2 + z + 1 = 0 是三次方程，至少有一个实根。设实根为 r，则 r ≠ ±1（代入验证）。
公式：z^3 - z^2 + z + 1 = 0
提示：实根可能为有理数，但不必求出具体值。
步骤 3/5
目标：利用根与系数的关系
设三个根为 r, ω, ω̅，则乘积 r·ω·ω̅ = -1（常数项相反数），所以 |ω|^2 = ω·ω̅ = -1/r。
公式：r·ω·ω̅ = -1
提示：共轭复根乘积为模平方。
步骤 4/5
目标：判断模长是否为1
由于 r ≠ ±1，且 r 为实数，则 -1/r ≠ 1，故 |ω|^2 ≠ 1，即 |ω| ≠ 1。因此没有模长为1的根。
公式：|ω|^2 = -1/r
提示：模长为1的复数对应单位圆上的点。
步骤 5/5
目标：得出结论
原方程要求 z = cos x + i sin x 的模长为1，但所有根模长均不为1，故无解。解的个数为0。
提示：注意 x 在 [0,2π] 内，z 对应单位圆。
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