北京大学 2023年强基第3题

B【解析】构造函数 $f(x)=\sum_{1 \leq a\lt b\lt c\lt d \leq 101}\left(1+x^{a}\right)\left(1+x^{b}\right)\left(1+x^{c}\right)\left(1+x^{d}\right)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+ a_{398} x^{398}$ ，记 $S=a_{0}+a_{101}+a_{202}+a_{303}$ ，则 $S=C_{101}^{4}+C_{100}^{3} X_{1}+C_{99}^{2} X_{2}+C_{98}^{1} X_{3}+X_{4}$ ，其中 $X_{k}$ 代表 $k$个两两不同不超过 101 和为 101 的倍数的无序数组数。（前面的系数含义是当某几个数固定后，这样的因子会在求和中出现多少次）特别地，$X_{1}=1, X_{2}=50$ 。 下面记 $\displaystyle \omega=e^{\frac{2 \pi i}{101}}$ ，则 $1+\omega^{k}, k=1,2, \cdots, 101$ 为 $(x-1)^{101}-1=0$ 的全部 101 个根。结合 101 是质数，由韦达定理知 $f\left(\omega^{k}\right)=\left\{\begin{array}{cc}C_{101}^{4} & k=1,2, \cdots, 100 \\ 16 C_{101}^{4} & k=101\end{array}\right.$ ，故 $101 S=\sum_{k=1}^{101} f\left(\omega^{k}\right)=116 C_{101}^{4}$ ，所以 $\displaystyle 98 X_{3}+X_{4}=\frac{15}{101} C_{101}^{4}-C_{100}^{3}-50 C_{99}^{2}=202155$ 。 另外构造函数 $g(x)=\sum_{1 \leq a\lt b\lt c \leq 101}\left(1+x^{a}\right)\left(1+x^{b}\right)\left(1+x^{e}\right)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{300} x^{300}$ ，则同理记 $T=b_{0}+b_{101}+b_{202}=C_{101}^{3}+C_{100}^{2} X_{1}+C_{99}^{1} X_{2}+X_{3}, \quad g\left(\omega^{k}\right)=\left\{\begin{array}{cc}C_{101}^{3} & k=1,2, \cdots, 100 \\ 8 C_{101}^{3} & k=101\end{array}\right.$ ，故 $101 T=\sum_{k=1}^{101} g\left(\omega^{k}\right)=108 C_{101}^{3}$ ，所以 $\displaystyle X_{3}=\frac{7}{101} C_{101}^{3}-C_{100}^{2}-50 C_{99}^{1}=1650$ ，所以我们所需的 $X_{4}=202125-98 \times 1650=40425$ ，故选 B 。