北京大学 2023年强基第4题
📝 题目
数列 $\left[\mathrm{a}_{n}\right]$ 满足 $\displaystyle \mathrm{a}_{1}=\frac{5}{2}, \mathrm{a}_{n+1}=a_{n}{ }^{2}-2$ ，则 $\left[\mathrm{a}_{2023}\right]$ 除以 7 的余数是 。 A． 7 B． 1 C． 2 D．以上都不对
💡 答案解析
C【解析】记 $b_{1}=2, b_{n+1}=b_{n}^{2}$ ，则 $\displaystyle a_{n}=b_{n}+\frac{1}{b_{n}}$ ，进而 $a_{2023}=2^{2^{2002}}+2^{-2^{2022}} \Rightarrow\left[a_{2023}\right]=2^{2^{2022}}$注意到 $2^{3} \equiv 1(\bmod 7), ~ 2^{2022} \equiv(-1)^{2022} \equiv 1(\bmod 3)$ ，所以 $2^{2022} \equiv 2^{1} \equiv 2(\bmod 7)$ ，选 $C$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造新数列简化递推关系
设 b1=2，且 bn+1=bn^2，则 an = bn + 1/bn。验证：a1=2+1/2=5/2，假设成立，则递推式成立。
公式：a_n = b_n + 1/b_n, b_{n+1}=b_n^2
提示：利用平方差公式，将二次递推转化为指数递推。
步骤 2/6
目标：求 bn 的通项公式
由 b1=2，bn+1=bn^2，得 bn = 2^{2^{n-1}}。因此 a_n = 2^{2^{n-1}} + 2^{-2^{n-1}}。
公式：b_n = 2^{2^{n-1}}
提示：指数迭代：每次平方，指数翻倍。
步骤 3/6
目标：求 a_{2023} 的整数部分
a_{2023} = 2^{2^{2022}} + 2^{-2^{2022}}，由于 2^{-2^{2022}} < 1，所以 [a_{2023}] = 2^{2^{2022}}。
公式：[a_{2023}] = 2^{2^{2022}}
提示：整数部分为大于1的整数部分。
步骤 4/6
目标：计算 2^{2^{2022}} mod 7
先求 2^{2022} mod 3。因为 2 ≡ -1 mod 3，所以 2^{2022} ≡ (-1)^{2022} ≡ 1 mod 3，设 2^{2022}=3k+1。
公式：2^{2022} ≡ 1 (mod 3)
提示：利用模3简化指数。
步骤 5/6
目标：利用费马小定理求模7余数
2^3 ≡ 1 mod 7，所以 2^{2^{2022}} = 2^{3k+1} = (2^3)^k * 2 ≡ 1^k * 2 ≡ 2 mod 7。
公式：2^{3} ≡ 1 (mod 7)
提示：指数模3后，用费马小定理。
步骤 6/6
目标：得出最终余数
因此 [a_{2023}] ≡ 2 mod 7，余数为2，对应选项C。
提示：答案选C。
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