北京大学 2023年强基第5题
📝 题目
对于前 366 个正整数，$U=\{1,2, \ldots, 366\}$ ，互不交互的二元子集且元素和为 17 的倍数的最多子集数为 。 A． 189 B． 179 C． 199 D．以上答案均不对
💡 答案解析
B【解析】注意到 366 除以 17 商 21 余 9 ．按照模的余数分类：余 0 共 21 个，余 $1-9$ 每组 22 个，余 $10-16$ 每组 21 个。配对后共 $21 \times 7+22+10=179$ ，选 $B$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目条件，确定模17分类
将1到366按模17的余数分类，余数0到16。计算每类个数：366÷17=21余9，故余0有21个，余1-9各22个，余10-16各21个。
公式：366 = 17×21 + 9
提示：注意余数1-9比余数10-16多一个数。
步骤 2/5
目标：确定配对规则
两个数之和为17的倍数，当且仅当它们的余数之和为0或17。因此余数r与17-r配对（r=0时与自身配对）。
公式：r + (17-r) ≡ 0 (mod 17)
提示：余数0只能与余数0配对。
步骤 3/5
目标：计算各配对组最多子集数
对于余数r和17-r（r≠0），每组可取min(个数r, 个数17-r)对。余数0组内两两配对，最多取21÷2=10对（向下取整）。
公式：min(count(r), count(17-r))
提示：余数0组只能取整数对。
步骤 4/5
目标：计算所有配对组的总对数
r=1与16：min(22,21)=21；r=2与15：21；r=3与14：21；r=4与13：21；r=5与12：21；r=6与11：21；r=7与10：21；r=8与9：min(22,22)=22；r=0：10。总和=21×7+22+10=179。
公式：21×7 + 22 + 10 = 179
提示：注意r=8与9组两个都是22个。
步骤 5/5
目标：得出结论
最多子集数为179，对应选项B。
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