北京大学 2023年强基第6题
📝 题目
集合 $U=\{1,2,3, \ldots, 10\}$ ，则 $U$ 的元素两两互素的三元子集个数有 个。 A． 20 B． 30 C． 120 D．以上答案均不对
💡 答案解析
D【解析】首先考虑包含 1 的情形，逐个枚举次小数从 2 到 9 共有 $4+5+3+4+1+3+1+1=22$ 个。再考虑不包含 1 的情形： 考虑以下抽屉：$\{2,4,8\},\{3,6,9\},\{5,10\},\{7\}$ ，显然同一抽屉中的数是相互不互质的。 （1）若在 $\{2,4,8\}$ 选了一个，则只能在 $\{3 / 9,5,7\}$ 中 3 选 2 ，则有 $3 \times 5=15$ 种。 （2）若 $\{2,4,8\}$ 不选，则在 $\{3,6,9\},\{5,10\},\{7\}$ 中各取一个，除去 $\{6,10\}$ ，则有 $3 \times 2-1=5$ 种。综上一共 $22+15+5=42$ 个，选 D。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分类讨论：包含1的三元子集个数
固定1，枚举次小数从2到9，检查与1互质（所有数都与1互质），再选第三个数与两者互质。计数得4+5+3+4+1+3+1+1=22个。
公式：互质定义：gcd(a,b)=1
提示：注意1与任何数互质，枚举时避免重复
步骤 2/5
目标：分类讨论：不包含1的三元子集个数（情况1）
构造抽屉：{2,4,8}, {3,6,9}, {5,10}, {7}。若从{2,4,8}选一个，则只能从{3,9,5,7}中选两个（注意6和10不能选，因为与2,4,8有公因子）。计数：3种选择×从4个数中选2个（C(4,2)=6）但需排除含6或10的组合？实际需重新分析：正确为从{3,9,5,7}中选两个，但3和9不能同时选（同抽屉），故有效组合为：选3则另一从{5,7}；选9则另一从{5,7}；选5则另一从{3,9,7}；选7则另一从{3,9,5}。计数：2×2 + 1×3 + 1×3 = 4+3+3=10？但原解析为15种，需修正。
公式：组合计数
提示：注意抽屉内数不互质，不能同时选
步骤 3/5
目标：修正情况1计数
从{2,4,8}选一个（3种），再从{3,9,5,7}中选两个且互质。{3,9}不能同时选，{5,10}中10不在集合，故只需排除{3,9}。从4个数中选2个共6种，减去{3,9}得5种。所以3×5=15种。
公式：C(4,2)-1=5
提示：注意{5,10}中10不在当前候选集
步骤 4/5
目标：分类讨论：不包含1的三元子集个数（情况2）
若{2,4,8}中不选任何数，则从{3,6,9}, {5,10}, {7}中各取一个。{3,6,9}中选一个（3种），{5,10}中选一个（2种），{7}必选（1种），共3×2=6种。但需排除{6,10}组合（因为6和10有公因子2），故6-1=5种。
公式：3×2-1=5
提示：注意6和10不互质
步骤 5/5
目标：求和并选择答案
包含1的22个，不包含1的15+5=20个，总计42个。选项A20，B30，C120，D以上答案均不对，故选D。
公式：22+15+5=42
提示：检查是否遗漏或重复
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