北京大学 2023年强基第7题
📝 题目
定义有理数复数为实部和虚部均为有理数的复数，无理数复数为实部和虚部均为无理数的复数，半有理复数为实部和虚部一个是有理数一个是无理数的复数，已知在复平面内三角形的三个顶点对应的复数均为半有理数，则三角形重心对应的复数是 。 A．只能是有理数复数或半有理数复数 B．只能是无理数复数或半有理数复数 C．只能是半有理数复数 D．以上选项均不对
💡 答案解析
D【解析】选 $D$ 。重心为有理复数的例子： $1+\sqrt{2} i, 2+\sqrt{2} i, 3-2 \sqrt{2} i$ ；重心为无理复数的例子： $1+\sqrt{2} i, 2+\sqrt{3} i, \sqrt{5}+i$ ；重心为半有理复数的例子：$\sqrt{2}+i,-\sqrt{2}+i, 1+\sqrt{3} i$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目条件和问题
题目给出三类复数：有理数复数（实虚部均为有理数）、无理数复数（实虚部均为无理数）、半有理复数（一有理一无理）。已知三角形三个顶点均为半有理复数，求重心对应的复数类型。
公式：重心坐标公式：G = (z1+z2+z3)/3
提示：注意半有理复数的定义：实部和虚部一个是有理数一个是无理数。
步骤 2/6
目标：分析重心可能类型
设三个半有理复数顶点，其和可能得到有理数、无理数或半有理数，除以3不改变类型（有理数/无理数/半有理数）。因此重心可以是三类中的任意一类。
公式：无
提示：考虑实部和虚部分别相加后的有理/无理性质。
步骤 3/6
目标：构造重心为有理数复数的例子
取顶点：1+√2 i, 2+√2 i, 3-2√2 i。实部和：1+2+3=6（有理），虚部和：√2+√2-2√2=0（有理），重心为2（有理复数）。
公式：无
提示：选择虚部系数和为0，实部为有理数。
步骤 4/6
目标：构造重心为无理数复数的例子
取顶点：1+√2 i, 2+√3 i, √5+i。实部和：1+2+√5=3+√5（无理），虚部和：√2+√3+1（无理），重心为无理复数。
公式：无
提示：实部和与虚部和均为无理数。
步骤 5/6
目标：构造重心为半有理复数的例子
取顶点：√2+i, -√2+i, 1+√3 i。实部和：√2-√2+1=1（有理），虚部和：1+1+√3=2+√3（无理），重心为半有理复数。
公式：无
提示：实部有理，虚部无理。
步骤 6/6
目标：得出结论
重心可以是三类中的任意一类，因此选项A、B、C均不全面，正确答案为D。
公式：无
提示：注意题目要求选择正确选项。
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