北京大学 2023年强基第8题
📝 题目
方程 $x[x]=6$ 的实数解个数为 。 A． 2 B． 1 C． 0 D．以上答案均不对
💡 答案解析
C【解析】显然 $x \neq 0$ ，若 $x\gt 0$ ，则 $x(x-1)\lt 6 \leq x^{2} \Rightarrow x \in[\sqrt{6}, 3) \Rightarrow[x]=2 \Rightarrow x=3$ 矛盾！同理若 $x\lt 0$ ，则 $x^{2} \leq 6\lt x(x-1) \Rightarrow x \in[-\sqrt{6},-2) \Rightarrow[x]=-3 \Rightarrow x=-2$ ，矛盾！故无解，选 $C$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析x的正负情况
显然x≠0，分x>0和x<0两种情况讨论。
提示：注意取整函数[x]的定义
步骤 2/6
目标：当x>0时，推导x的范围
由[x]≤x<[x]+1，得x(x-1)
公式：x(x-1)<6≤x^2
提示：利用不等式放缩
步骤 3/6
目标：当x>0时，确定[x]并检验
由√6≤x<3得[x]=2，代入原方程得2x=6，解得x=3，但x=3不在[√6,3)内，矛盾。
公式：[x]=2, 2x=6
提示：注意区间端点
步骤 4/6
目标：当x<0时，推导x的范围
由[x]≤x<[x]+1，得x^2≤x[x]
公式：x^2≤6
提示：注意不等式方向
步骤 5/6
目标：当x<0时，确定[x]并检验
由-√6≤x<-2得[x]=-3，代入原方程得-3x=6，解得x=-2，但x=-2不在[-√6,-2)内，矛盾。
公式：[x]=-3, -3x=6
提示：注意区间端点
步骤 6/6
目标：得出结论
两种情况均无解，故方程无实数解，选C。
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