北京大学 2023年强基第9题
📝 题目
$\displaystyle \left[\frac{1^{2}}{2023}\right],\left[\frac{2^{2}}{2023}\right], \ldots,\left[\frac{2023^{2}}{2023}\right]$ 共 2023 个数中共有多少值 。 A． 1520 B． 1512 C． 1518 D．以上答案均不对
💡 答案解析
C【解析】考虑相邻两数的距离 $\displaystyle d_{n}=\frac{(n+1)^{2}-n^{2}}{2023}$ ，分为两类情况，当 $n \leq 1011$ 时，$d_{n} \leq 1$ ，因此每次增长要么原地不动，要么跳到下一个整点。所以在 $\displaystyle \left[\frac{1011^{2}}{2023}\right]=505$ 前的每个顶点都被经过，包括 0 共 506 个。 当 $n \geq 1012$ 时，$d_{n}\gt 1$ ，所以每次必到新的整点，所以会产生新的 1012 个。 综上，一共 $506+1012=1518$ 个。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意，明确需要统计不同取整值的个数
题目给出2023个形如 [n^2/2023] 的数，n=1,...,2023，需要统计这些数中不同值的个数。
提示：注意取整函数 [x] 表示不超过x的最大整数。
步骤 2/6
目标：分析相邻两项的差值，判断取整值的变化规律
考虑相邻两项的差值 d_n = [(n+1)^2 - n^2]/2023 = (2n+1)/2023。当 d_n ≤ 1 时，取整值可能不变或增加1；当 d_n > 1 时，取整值至少增加1。
公式：d_n = (2n+1)/2023
提示：d_n 是相邻两项的差值，不是取整值的差值，但可以反映取整值的变化。
步骤 3/6
目标：确定分界点 n=1011 和 n=1012
解不等式 (2n+1)/2023 ≤ 1 得 n ≤ 1011；当 n ≥ 1012 时，d_n > 1。因此分两类讨论。
公式：2n+1 ≤ 2023 ⇒ n ≤ 1011
提示：注意 n 是整数，所以 n=1011 时 d_n=2023/2023=1，n=1012 时 d_n=2025/2023>1。
步骤 4/6
目标：计算第一类 (n≤1011) 的取整值个数
当 n≤1011 时，d_n ≤ 1，取整值每次最多增加1，且从0开始（n=1时 [1/2023]=0），到 n=1011 时 [1011^2/2023]=505，因此取遍0到505的所有整数，共506个。
公式：[1011^2/2023] = 505
提示：注意包括0，所以个数为505+1=506。
步骤 5/6
目标：计算第二类 (n≥1012) 的取整值个数
当 n≥1012 时，d_n > 1，每次取整值至少增加1，且每次增加都到达新的整数，因此从 n=1012 到 n=2023 共1012个数，每个数对应一个新取整值，共1012个。
提示：注意 n=1012 时 [1012^2/2023] = 506，与上一类最后一个值505不同，所以是新的。
步骤 6/6
目标：求和得到总个数并选择答案
总个数 = 506 + 1012 = 1518，对应选项C。
提示：注意检查是否重复或遗漏。
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