北京大学 2023年强基第10题
📝 题目
三个互不相同的正整数的最大公约数是 20 ，最小公倍数是 20000 ，这样的不同正整数组共有 个。 A． 56 B． 12 C． 18 D．以上答案均不对
💡 答案解析
D【解析】由算术基本定理，设三个数分别为 $20 \times 2^{x_{1}} \times 5^{y_{1}}, 20 \times 2^{x_{2}} \times 5^{y_{2}}, 20 \times 2^{x_{3}} \times 5^{y_{3}}$ ，其中 $x_{k}, y_{k} \in\{0,1,2,3\}$ ，则 $\min \left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}=\min \left\{y_{1}, y_{2}, y_{3}\right\}=0,3=\max \left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}= \max \left\{y_{1}, y_{2}, y_{3}\right\}$ 。将 2 和 5 的中间幂次 $m, n$ ，如下逐个分析，得到共 52 种，故选 $D$ 。 \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} \hline & $m=0$ & $m=1$ & $m=2$ & $m=3$ \\ \hline $n=0$ & 1 & 3 & 3 & 1 \\ \hline $n=1$ & 3 & 6 & 6 & 3 \\ \hline $n=2$ & 3 & 6 & 6 & 3 \\ \hline $n=3$ & 1 & 3 & 3 & 1 \\ \hline \end{tabular}
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设三个数的标准分解形式
设三个数分别为20×2^{x1}×5^{y1}, 20×2^{x2}×5^{y2}, 20×2^{x3}×5^{y3}，其中xk, yk∈{0,1,2,3}。
公式：a_i = 20 * 2^{x_i} * 5^{y_i}
提示：利用最大公约数和最小公倍数的指数条件
步骤 2/7
目标：确定指数条件
由最大公约数为20得min{x1,x2,x3}=0, min{y1,y2,y3}=0；由最小公倍数为20000得max{x1,x2,x3}=3, max{y1,y2,y3}=3。
公式：min=0, max=3
提示：20000=20×1000=20×2^3×5^3
步骤 3/7
目标：分析2的指数分布情况
三个数的2指数必须包含0和3，中间值m=0,1,2,3。对于每个m，计算满足条件的(x1,x2,x3)排列数。
公式：排列数公式
提示：注意三个数互不相同，但指数可以相同
步骤 4/7
目标：计算2指数分布对应的排列数
当m=0时，指数组合为{0,0,3}，排列数=3（因为两个0相同）；m=1时，{0,1,3}，排列数=6；m=2时，{0,2,3}，排列数=6；m=3时，{0,3,3}，排列数=3。
公式：排列数 = 3! / (重复数阶乘)
提示：注意三个数互不相同，但指数可以相同
步骤 5/7
目标：同理分析5的指数分布
5的指数分布与2类似，n=0,1,2,3对应的排列数分别为3,6,6,3。
公式：同上
提示：独立分析
步骤 6/7
目标：计算总组合数
将2和5的指数分布组合，总数为对应排列数乘积之和：1×1 + 3×3 + 3×3 + 1×1 + 3×3 + 6×6 + 6×6 + 3×3 + 3×3 + 6×6 + 6×6 + 3×3 + 1×1 + 3×3 + 3×3 + 1×1 = 52。
公式：总组合数 = Σ (排列数2 × 排列数5)
提示：注意m和n独立，共16种组合
步骤 7/7
目标：验证答案
计算得52种，选项A56、B12、C18均不对，故选D。
提示：检查是否有遗漏或重复
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