北京大学 2023年强基第11题
📝 题目
方程 $24 x^{5}-15 x^{4}+40 x^{3}-30 x^{2}+120 x+1=0$ 的实数根的个数有 个。 A． 1 B． 3 C． 5 D．以上都不对
💡 答案解析
A【解析】设 $f(x)=24 x^{5}-15 x^{4}+40 x^{3}-30 x^{2}+120 x+1$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=120 x^{4}-60 x^{3}+ 120 x^{2}-60 x+120=60 x^{2}\left(2\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\right)\gt 0$ ，所以 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，其次数为 5 ，只有一个实根，选 $A$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造函数并求导
设 f(x)=24x^5-15x^4+40x^3-30x^2+120x+1，求导得 f'(x)=120x^4-60x^3+120x^2-60x+120。
公式：f'(x)=120x^4-60x^3+120x^2-60x+120
提示：注意多项式求导法则，逐项求导。
步骤 2/5
目标：化简导数表达式
提取公因式60，得 f'(x)=60(2x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 2)。
公式：f'(x)=60(2x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 2)
提示：提取公因式简化表达式。
步骤 3/5
目标：判断导数恒正
将括号内表达式配方：2x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 2 = x^2[2(x+1/x)^2 - (x+1/x) - 2]，当x≠0时，令t=x+1/x，则|t|≥2，2t^2-t-2>0；当x=0时，原式=2>0。故f'(x)>0恒成立。
公式：2x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 2 = x^2[2(x+1/x)^2 - (x+1/x) - 2]
提示：利用x+1/x的绝对值≥2，判断二次式恒正。
步骤 4/5
目标：得出单调性结论
由于f'(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增。
提示：导数大于0则函数单调递增。
步骤 5/5
目标：确定实根个数
f(x)是5次多项式，且单调递增，故最多有一个实根。又f(0)=1>0，f(-1)=-24-15-40-30-120+1=-228<0，由零点定理知存在唯一实根。所以实根个数为1。
提示：利用零点定理：连续函数在区间两端异号则必有根。
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