北京大学 2023年强基第12题
📝 题目
函数 $\displaystyle f(x)=\min \left\{\sin x, \cos x,-\frac{1}{\pi} x+1\right\}$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值是 。 A．$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ B．$\displaystyle \frac{1}{2}$ C．$\displaystyle \frac{1}{4}$ D．以上都不对
💡 答案解析
A【解析】 $\displaystyle f(x) \leq \min \{\sin x, \cos x\} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，等号成立当且仅当 $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$ ，故选 $A$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意，明确函数定义
函数f(x)取sin x, cos x, -x/π+1三个函数在x处的最小值，求f(x)在[0,π]上的最大值。
公式：f(x)=min{sin x, cos x, -x/π+1}
提示：注意min函数取最小值，求最大值需考虑三个函数的大小关系。
步骤 2/5
目标：分析三个函数在[0,π]上的图像和大小关系
在[0,π]上，sin x从0增到1再减到0；cos x从1减到-1；直线-x/π+1从1减到0。
提示：画出草图帮助理解。
步骤 3/5
目标：利用不等式放缩，简化问题
由于f(x)是三个函数的最小值，所以f(x) ≤ min{sin x, cos x}，而min{sin x, cos x} ≤ √2/2，等号在x=π/4时成立。
公式：min{sin x, cos x} ≤ √2/2
提示：sin x和cos x在x=π/4时相等且为√2/2。
步骤 4/5
目标：验证等号能否取到
当x=π/4时，sin x=cos x=√2/2，-x/π+1=1-1/4=3/4 > √2/2，所以f(π/4)=√2/2，等号成立。
提示：检查直线函数值是否大于√2/2。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此f(x)在[0,π]上的最大值为√2/2，对应选项A。
提示：注意其他点函数值均小于等于√2/2。
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