北京大学 2023年强基第13题
📝 题目
已知集合 $S=\{(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)\}$ ，现有一个人在原点 $O(0,0)$ ，第 $n+1$ 天从第 $n$ 天的位置出发沿向量 $\displaystyle \frac{v}{4^{n}}$ 移动，$v \in S$ ，用 $S_{n}$ 表示第 $n$ 天这个人可能在多少个不同的位置上，则 $S_{2023}=$ 。 A． $2^{2023}$ B． $2^{4046}$ C． $2^{4044}$ D．以上都不对
💡 答案解析
B【解析】我们可以将第 $n$ 天人所在的所有可能位置及其过程只用 $1,2,3$ 构成的四进制小数组来记录：$\left(0 . a_{1} a_{2} \cdots a_{n}, 0 . b_{1} b_{2} \cdots b_{n}\right)_{(4)}$ ，其中 1 代表坐标 $-1,2$ 代表坐标不变， 3 代表 +1 。容易看出上述过程是唯一确定的，而其在坐标系的真实位置：$x_{n}=\left(\overline{0 . a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}\right)_{(4)}- (\overline{0.22 \cdots 2})_{(4)}, \quad y_{n}=\left(\overline{0 . b_{1} b_{2} \cdots b_{n}}\right)_{(4)}-(\overline{0.22 \cdots 2})_{(4)}$ 。而这个事情告诉我们，只要中间路径不同，最后的结果一定不同。但每一步都有 4 种选择，因此 $\left|S_{2023}\right|=4^{2023}=2^{4046}$ ，选 $B$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解移动规则
第n+1天从第n天位置出发，沿向量v/4^n移动，v∈S，S有4个方向向量。
提示：注意每次移动的向量长度随n增大而减小。
步骤 2/5
目标：建立坐标表示
用四进制小数表示位置：将每一步的移动编码为数字，1代表-1，2代表0，3代表+1。第n天位置为(0.a1a2...an, 0.b1b2...bn)_4减去常数(0.22...2)_4。
公式：x_n = (0.a1a2...an)_4 - (0.22...2)_4, y_n类似
提示：编码与移动方向对应：1→-1, 2→0, 3→+1。
步骤 3/5
目标：证明路径与位置一一对应
不同的移动路径（即不同的四进制小数序列）导致不同的最终位置，因为四进制表示唯一。
提示：关键在于四进制小数的唯一性。
步骤 4/5
目标：计算可能位置数
每一步有4种选择，共n步，所以第n天可能位置数为4^n。
公式：S_n = 4^n
提示：注意n=2023时，4^2023 = 2^4046。
步骤 5/5
目标：代入n=2023得结果
S_2023 = 4^2023 = 2^4046，对应选项B。
公式：4^2023 = 2^4046
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