北京大学 2023年强基第14题
📝 题目
正整数 $\displaystyle x, y, z, \frac{x(y+1)}{z-1}, \frac{z(x+1)}{y-1}, \frac{y(z+1)}{x-1}$ 均为整数，则 $x y z$ 的最大值和最小值之和为 。 A． 701 B． 699 C． 692 D．以上都不对
💡 答案解析
A【解析】两种表述等价。易知 $x-1|y+1, y-1| z+1,|z-1| x+1$ ，由轮换性（不对称），不妨设 $x=\max \{x, y, z\}, x y z$ 的最小值显然在 $x=y=z=2$ 时取到。下面研究最大值：注意到 $z-1\lt x+1$ ，由整除关系加强为 $\displaystyle z-1 \leq \frac{x+1}{2}$ ，另一方面，显然有 $x-1 \leq y+1$ ， $y-1 \leq z+1$ ，所以 $\displaystyle x-5 \leq z-1 \leq \frac{x+1}{2} \Rightarrow x \leq 11$ ，此时 $z \leq 7, y \leq 9$ 均能取到最大，故最大值与最小值之和为 $7 \times 9 \times 11+2^{3}=701$ ，选 $A$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：转化条件为整除关系
由三个分式为整数，可得 x-1|y+1, y-1|z+1, z-1|x+1。
公式：x-1|y+1, y-1|z+1, z-1|x+1
提示：注意分母不为零，x,y,z≥2。
步骤 2/6
目标：确定最小值情况
由轮换性，不妨设x最大。最小值在x=y=z=2时取得，此时xyz=8。
公式：xyz_min = 2^3 = 8
提示：尝试小值验证。
步骤 3/6
目标：利用整除关系放缩
由z-1|x+1且z-1 < x+1，得z-1 ≤ (x+1)/2。同时x-1 ≤ y+1，y-1 ≤ z+1。
公式：z-1 ≤ (x+1)/2, x-1 ≤ y+1, y-1 ≤ z+1
提示：注意不等号方向。
步骤 4/6
目标：推导x的范围
由x-1 ≤ y+1和y-1 ≤ z+1得x-3 ≤ z，结合z-1 ≤ (x+1)/2得x-5 ≤ (x+1)/2，解得x≤11。
公式：x-5 ≤ (x+1)/2 ⇒ x ≤ 11
提示：注意不等式传递。
步骤 5/6
目标：确定最大值
x最大为11，此时z≤7，y≤9，取x=11,y=9,z=7满足条件，xyz=693。
公式：xyz_max = 11×9×7 = 693
提示：验证整除关系。
步骤 6/6
目标：计算和
最大值与最小值之和为693+8=701。
公式：701
提示：对应选项A。
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