北京大学 2023年强基第15题
📝 题目
三角形一条高为 2 ，另一条高为 4 ，则三角形的内切圆半径的取值范围是 。 A．$\displaystyle \left(\frac{2}{3}, 1\right)$ B．$\displaystyle \left(\frac{1}{3}, 1\right)$ C．$(1,2)$ D．以上都不对
💡 答案解析
A【解析】设三角形的边为 $a, b, c$ ，内切圆半径为 $r$ ，则 $2 S_{\triangle A B C}=r(a+b+c)=2 a=4 b$ ，则 $\displaystyle c=\frac{4 b}{r}-3 b \in(b, 3 b) \Rightarrow r \in\left(\frac{2}{3}, 1\right)$ ，选 $A$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设三角形三边及内切圆半径
设三角形三边为a, b, c，内切圆半径为r，面积为S。
公式：S = (1/2) * r * (a+b+c)
提示：内切圆半径与面积、周长关系
步骤 2/6
目标：利用高表示面积
由高为2和4，得S = (1/2)*a*2 = a，且S = (1/2)*b*4 = 2b，故a = 2b。
公式：S = (1/2)*底*高
提示：注意对应边与高的关系
步骤 3/6
目标：用r和b表示a和c
由S = a = 2b，且S = (1/2)*r*(a+b+c)，代入a=2b得2b = (1/2)*r*(3b+c)，解得c = (4b/r) - 3b。
公式：S = (1/2)*r*(a+b+c)
提示：解方程时注意b>0
步骤 4/6
目标：利用三角形三边关系求r范围
三角形两边之和大于第三边：b + c > a，即b + (4b/r - 3b) > 2b，化简得4b/r > 4b，故r < 1。
公式：三角形两边之和大于第三边
提示：注意不等式方向
步骤 5/6
目标：利用另一组三边关系
a + b > c，即2b + b > 4b/r - 3b，化简得6b > 4b/r，故r > 2/3。
公式：三角形两边之和大于第三边
提示：结合上一步得r范围
步骤 6/6
目标：综合得r的取值范围
由r < 1且r > 2/3，得r ∈ (2/3, 1)，对应选项A。
提示：注意开区间
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