北京大学 2023年强基第16题
📝 题目
已知点 $C \in\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1, y \geq 0\right\}, A(-1,0), B(1,0)$ ，延长 $A C$ 至 $D$ 使 $|C D|=3|B C|$ ，那么点 $D$ 到点 $E(4,5)$ 的距离的最小值和最大值之积为 。 A．$\sqrt[2]{170}$ B．$\sqrt[2]{85}$ C．$\sqrt[2]{170}-\sqrt[2]{85}$ D．以上答案均不对 
💡 答案解析
D【解析】记 $\displaystyle \angle C A B=\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，则 $A D=2 \cos \theta+6 \sin \theta$ ，故 $D=(-1+\cos \theta(2 \cos \theta+6 \sin \theta), \sin \theta(2 \cos \theta+6 \sin \theta))$ ，进而 $d^{2}=(4-\cos 2 \theta-3 \sin 2 \theta)^{2}+(2+3 \cos 2 \theta-\sin 2 \theta)^{2}=30+4(\cos 2 \theta-7 \sin 2 \theta) \in$ $[30-20 \sqrt{2}, 34]$ 。因此 $d_{\text {max }} \cdot d_{\text {min }}=2(\sqrt{170}-\sqrt{85})$ ，选 $D$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立坐标系并设参数
点C在单位圆的上半圆上，设∠CAB=θ，θ∈[0,π/2]。由几何关系，A(-1,0)，B(1,0)，C坐标为(cos2θ, sin2θ)？实际上，更直接地，设C(cosθ, sinθ)？注意：∠CAB=θ，则C坐标可表示为(cos2θ, sin2θ)？需要重新推导。
公式：C(cos2θ, sin2θ)？
提示：注意角度关系
步骤 2/7
目标：计算AD长度
由条件|CD|=3|BC|，且A、C、D共线，所以AD = AC + CD = AC + 3|BC|。计算AC=2cosθ，BC=2sinθ，故AD=2cosθ+6sinθ。
公式：AD = 2cosθ + 6sinθ
提示：利用单位圆性质
步骤 3/7
目标：表示D点坐标
D在AC延长线上，方向与AC相同。AC方向向量为(cos2θ+1, sin2θ)？更简单：A到C的向量为(cos2θ+1, sin2θ)，但AD长度已知，故D = A + (AD/AC)*(C-A)。计算得D坐标为(-1+cosθ(2cosθ+6sinθ), sinθ(2cosθ+6sinθ))。
公式：D = (-1+cosθ(2cosθ+6sinθ), sinθ(2cosθ+6sinθ))
提示：注意向量方向
步骤 4/7
目标：计算D到E的距离平方
E(4,5)，计算d²=(4-x_D)²+(5-y_D)²。代入D坐标并化简，利用三角恒等式，得到d²=30+4(cos2θ-7sin2θ)。
公式：d² = 30 + 4(cos2θ - 7sin2θ)
提示：化简时注意使用倍角公式
步骤 5/7
目标：求d²的取值范围
cos2θ-7sin2θ = √50 cos(2θ+φ)，其中φ满足cosφ=1/√50, sinφ=7/√50。其取值范围为[-√50, √50] = [-5√2, 5√2]。故d²∈[30-20√2, 30+20√2]？但解析中给出[30-20√2, 34]，注意最大值可能受θ范围限制？θ∈[0,π/2]，2θ∈[0,π]，cos2θ-7sin2θ在端点处取值？检查：θ=0时，cos0-0=1，d²=34；θ=π/2时，cosπ-7sinπ=-1，d²=26；最小值在内部取得，为30-20√2。所以d²∈[30-20√2, 34]。
公式：d² ∈ [30-20√2, 34]
提示：注意θ范围对最值的影响
步骤 6/7
目标：计算距离最值之积
d_min = √(30-20√2) = √( (√20-√10)² )？实际上30-20√2 = (√20-√10)²？20=2√100？计算：√(30-20√2) = √( (√20-√10)² ) = √20-√10 = 2√5-√10？但解析中d_min=√(170)-√(85)？注意：30-20√2 = (√50-√20)²？√50=5√2，√20=2√5，平方得50+20-20√10=70-20√10，不对。正确化简：30-20√2 = 10(3-2√2) = 10(√2-1)²，所以d_min=√10(√2-1)=√20-√10=2√5-√10。而d_max=√34。乘积=√34 * √(30-20√2) = √(34*(30-20√2)) = √(1020-680√2) = √(20*(51-34√2))？解析中乘积为2(√170-√85)，即2√85(√2-1)=2√170-2√85。平方得4*85*(3-2√2)=340*(3-2√2)=1020-680√2，一致。所以乘积为2(√170-√85)。
公式：d_max * d_min = 2(√170 - √85)
提示：注意化简技巧
步骤 7/7
目标：选择答案
选项A为√170，B为√85，C为√170-√85，D为以上答案均不对。乘积为2(√170-√85)，不在A、B、C中，故选D。
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